In der Mathematik spricht man z. B. von,,Problemen". Sie
erwachsen ausschließlich aus dem, was in den Axiomen,,defi-
niert" ist. Die Entscheidung hat hier das Besondere, daß sie eine
,,Lösung" ist. Im Gange eines mathematischen Beweises wird
etwas vollzogen, was vorher,,unentschieden" war¹). Die Kon-
struktion löst hier eine Aufgabe. Und hierbei ist die Wider-
spruchsfreiheit nur eine notwendige, aber noch nicht hinreichende
Bedingung eines Axiomensystems. Es muß definit²) sein. (Wir
verstehen darunter die Forderung, daß in den Axiomen bzw.
1),,Der geometrische Beweis besteht bloß darin, daß man den Nexus,
auf dessen Anschauung es ankommt, deutlich heraushebt." (Schopenhauer,
Die vierf. Wurzel des Satzes v. zureich. Grunde § 39.) Es wird darin nichts
eigentlich,,erschlossen“. Die Axiome sind überhaupt noch nichts, was —, wie
,,Prämissen" - wahr oder falsch sein könnte. Die Axiome der Geometrie, d. i.
das Axiomatische, was in den üblichen Axiomen freilich nicht immer heraus-
gehoben ist, obgleich es bei deren beweisender Funktion ausschließlich be-
nutzt werden kann, enthalten nicht etwa, wie Erdmann sagt, die,,Merkmale
des Raumbegriffes". (Die Axiome der Geometrie S. 91.) Die Axiome sind
weder Hypothesen", noch,,Postulate". Es ist nicht der Sinn des für die
Geometrie von Riemann entscheidenden Axioms, eine Parallele durch einen
Punkt zu einer Geraden sei – aus irgend einem Grunde -,,unmöglich". Das
könnte freilich nur,,angenommen" werden. Das fragliche Axiom und eben-
so das entsprechende von Lobatschewskij enthält nur,,weniger", als in der
reinen Anschauung vorgeblich wenigstens - gegeben ist. Daß die Axiome
weniger enthalten können, ist merkwürdig genug. Andere Sätze können
nicht umhin, das, was sie ausdrücken, ohne Abzug zu,,enthalten“, auch sofern
es nicht in die Sphäre der ausdrücklichen Bedeutung gehoben ist. Wir merken
an, daß die Geometrie von Lobatschewskij eine gewisse,, Pseudoanschaulich-
keit" bewahrt hat. Es ist von vornherein gar nicht einzusehen, warum nur
eine Gerade den Anforderungen der Aufgabe genügen soll, die in der Aus-
sage des Parallelenaxioms zugrunde gelegt ist. Wir stoßen auf,,Möglichkeiten“,
die auch nicht in dem Sinne,,sachlich" sind, daß sie sich sachlich ergänzen
können. Entsprechend meint das Parallelenaxiom des Euklid nicht eine vor-
geblich in reiner Anschauung einsichtige,,Tatsache". Wären die räumlichen
Verhältnisse, so wie sie sind, in den Axiomen einfach,,beschrieben", dann
bliebe die Folgerung, d. i. der mathematische Beweis ohne eigentlichen Sinn.
Ebenso ist in dem Axiom des Archimedes etwas formuliert, was sicherlich
keine Tatsache ist, um deren Anerkennung man nicht herumkommt. Dieses
Axiom ist,,einsichtfremd", aber nicht - das wäre eine voreilige Interpretation
in dem Sinne, wie Zufälliges, was,,auch anders sein könnte". Wir erinnern
ferner an das Axiom, daß eine mathematische Größe sich selbst gleich sei.
In der sich-selbst-Gleichheit einer Größe ist etwas formuliert, was über eine
,,Selbstverständlichkeit" gleichsam noch hinausgeht. (Vgl. S. 87.) Beim Ansatz
von Axiomen bin ich offenbar jeder Rücksicht darauf entbunden, ob deren
Formulierung in irgendeiner Gegebenheit auch nur erfüllt sein kann.
2) Der Begriff der Definitheit ist von Husserl gefunden worden.
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