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Teilgebiet von a und b oder die größte gemeinsame Art der
Gattungen a, b (analog wie das Objektivprodukt a Xẞ die größte ge-
meinsame Folge von a und von ẞ ist).
20. (Satz.) Zu zwei Klassen a, b gibt es immer eine Klasse p,
so daß
pa, pb,
jedoch
ist, für jede Klasse y, die
py
ya, y b
erfüllt.
Der Beweis ist analog dem zu 18. Faßt man zu a, b die de-
finierenden Objektive a, ß auf, so gibt es zu ihnen (nach 14) immer ein
logisches Produkt л = а X ß. Dieses л bestimmt als reziprok ent-
sprechenden Term eine Klasse, die alle Beziehungen zu a, b erfüllt, die
den Beziehungen von л zu α, ẞ reziprok entsprechen. Diese Beziehungen
sind aber eben die, durch welche wir p definiert haben (wie man sich
leicht überzeugt, wenn man zu 14 die reziproken Relationen bildet).
21. (Definition.) Die Klasse p, die zu a und b in den in 20´an-
gegebenen Beziehungen steht, nennen wir die logische Summe dieser
Klassen und setzen
p = a + b,
·
weil die Einschließungs-(nämlich Einordnungs-)Beziehungen, in denen
p zu a und b steht, mit den Einschließungs-(nämlich Folge-)Beziehungen
formal übereinstimmen, in denen die logische Summe aß zu
a und ẞ steht (vgl. 10). Da aber diese formalen Beziehungen für aß
Folge-, für ab dagegen Einordnungsbeziehungen sind, wählen wir
doch verschiedene Symbole ( und +) dafür.
Folgerung. Die Klassensumme ab ist die Klasse der Dinge,
die л, das ist aẞ („a oder 8") erfüllen. Sie ist daher die Klasse,
die alle Dinge von a und alle Dinge von b, aber nichts darüber, enthält,
die Klasse der a und der b oder die kleinste den Arten a und b
gemeinsam übergeordnete Gattung.
22. (Sätze.)
1. (ca) (c← b) = (c <ab),
a+b),
2. (c a) (c⇒ b) = (c
3. (ab) = (ab=
b),
4. (a b) = (a + b = a).
Die Beweise ergeben sich auf Grund von R unmittelbar aus den
entsprechenden Sätzen über Objektive (vgl. 12, 16, 13, 17).
Die beiden ersten Sätze können, nach R, auch so angeschrieben
werden:
1. (ca). (c ← b) = (cab),
2'. (ca). (c ⇒ b) = (c a + b).
In den ersten Anschreibungen sind Objektive miteinander durch
verknüpft, zum Beispiel die Subsumtionen ca und c←b; in den
zweiten ist zum Beispiel unter (ca) die Klasse der Fälle verstanden,
in denen dieses Subsumtionsobjektiv zutrifft, unter (ca). (c←b) die
Klasse der Fälle, in denen beide Subsumtionen erfüllt sind.
