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anw: na w."1 Je größer die Zahl der Fälle, desto mehr wird
sich der beobachtete Durchschnittsbetrag des realisierten Wertes dem
Betrage a w nähern; es wird also im großen ganzen" des Geschehens
der größte Wert realisiert werden, wenn in jedem Falle der größte
Erwartungswert gewählt wird, wenigstens kann die Wahrschein-
lichkeit dafür beliebig der Gewißheit angenähert werden, wenn man
nur entsprechend viele Fälle in Betracht zieht.2
Natürlich sind bei den weitaus meisten unserer Handlungen weder
Wert des Zieles noch Wahrscheinlichkeit in Maßzahlen gegeben, sondern
jener ist uns irgendwie durch das Wertgefühl oder die Werthaltung,
die Wahrscheinlichkeit aber durch die Stärke des vorgängigen Ver-
mutens, daß das Ziel sich erreichen lasse, gegeben. Beides zusammen
gibt eine Art Schätzung oder „Eindruck" der Bewährbarkeit, die sich
günstigenfalls durch den mathematischen Erwartungswert würde
charakterisieren lassen, jedoch nicht unmittelbar, so daß er die
Maßzahl dieser Größe abgäbe. Der Erwartungswert selbst kann
diese Maßzahl nicht sein, denn Bewährbarkeit ist eine Möglichkeit
und hat ihre obere Grenze 1, er aber kann mit wachsendem Werte
a für jedes gegebene w beliebig groß werden.
Um das Bewährbarkeitsmaß zu finden, betrachten wir ein er-
sonnenes Beispiel, dessen einfache Verhältnisse leicht zu überblicken
sind. Bei einem Bestschießen seien auf verschiedene, abgestufte
Leistungen verschiedene Preise a1, a2, a3, a in aufsteigender
Reihe ausgesetzt, der höchste von ihnen a4 = A. Jeder Schütze
dürfe nur um einen Preis schießen. Jemand, der der Reihe
nach die Wahrscheinlichkeiten W1, W2, W3, W4 hat, die einzelnen
Preise zu gewinnen, wird sich für den Bewerb um den ent-
schließen, der ihm nach seinem Können den größten Erwartungs-
wert bietet, das sei etwa ag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit
w3. Die größte Bewährbarkeit hätte aber offenbar das Unternehmen
eines Schützen, der sicher wäre, den höchsten Preis A zu gewinnen;
an ihr ist die Bewährbarkeit des Unternehmens unseres minder
vollkommenen Bewerbers zu messen und die Maßzahl, die wir ihr
zuordnen, muß den Grad ihrer Annäherung an jene höchste Bewähr-
barkeit angeben. Die zu messende Bewährbarkeit entspricht einem
Erwartungswert w3 as, die höchste in Betracht kommende dem Er-
wartungswert A Ida hier w = 1 ist und so hat man für die
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1 F. Hack, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin und Leipzig, 1914,
S. 18 (die Zeiger bei a und w sind im Zitate als belanglos weggelassen).
2 Die Voraussetzung, daß unter den n Fällen, nach Abzug der n w
günstigen Fälle, ,die übrigen nichts" einbringen werden, ist in unserer
Überlegung allerdings nicht streng zutreffend, denn sie können und werden
die verschiedensten positiven und negativen Werte bringen, über die sich
aus unserer Voraussetzung, daß jedesmal der Erwartungswert a w bestand,
nur nichts ergibt, und deshalb ist das Gesamtergebnis der zu erwartenden
Mißerfolge nicht in Rechnung zu setzen.