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fruchtbaren Gebrauch. Wir stellen etwa fest, daß 865 durch 3 nicht
teilbar sei, weil die Ziffernsumme von 865 es nicht sei und haben
damit stillschweigend oder ausdrücklich die Beziehung anerkannt:
wenn 865 durch 3 teilbar ist, so ist auch die Ziffernsumme, d. i. 19,
durch 3 teilbar", eben daraus, daß dieses nicht ist, erkennen wir
ja, daß jenes nicht ist.
"
Die Beziehung Ao B, d. h. „A ist nicht, ohne daß B ist", trifft
offenbar immer zu, wenn B eine Tatsache ist, denn kein Sachverhalt
A kann bestehen, ohne daß die Tatsachen bestehen; daß A ist,
eine Tatsache aber nicht ist, gibt es nicht. In der Tat, wenn be-
liebiges ist, so sind immer die Tatsachen, sie sind überall impliziert. —
Die Beziehung A ǝ B trifft auch immer zu, wenn A untatsächlich ist.
Welchen Sachverhalt auch B bedeuten mag, immer ist wahr: daß
die Untatsache A besteht (d. h. Tatsache ist) und B nicht besteht,
gibt es nicht". In diesem Sinne gilt also, daß eine Untatsache alles
beliebige impliziert. Auch davon macht man im alltäglichen Denken
und Sprechen Gebrauch, wenn man, um etwas recht kräftig als
untatsächlich zu bezeichnen, etwa sagt: „Wenn das ist, dann ist
auch 2 × 2
5".
"
=
Wir bezeichnen mit V die Tatsachen, das Tatsächliche,
mit A die Untatsachen, das Untatsächliche und schreiben
die eben aufgestellten zwei Sätze so an:
Mɔ V
M
zu lesen „M impliziert V, für jeden Wert M" oder „für jedes M
d. h. für jeden Sachverhalt M gilt »M impliziert V«", bzw.
„A impliziert M, für jeden Wert M" oder „für jedes M gilt »A
impliziert M<<".
Sind A, B Sachverhalte, so ist „A und B", oder „daß A besteht
und B besteht wieder ein Sachverhalt, den wir als Konjunktion
von A und B bezeichnen und als
A. B oder als A B
-
-
ΛοΜ
M
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"9
"9
anschreiben. Heißt also „A“ etwa ‚es regnet“, „B es ist kalt",
so wird A. B“ oder „A B" bedeuten „es regnet und es ist kalt".
Mithilfe der Implikation und der konjunktiven Verknüpfung läßt
sich nun die Beziehung der Äquivalenz definieren. Die Sachver-
halte A, B heißen äquivalent, wenn sie sich gegenseitig implizieren;
wir schreiben dafür
A B oder B = A.
=
Nach dieser Erklärung heißt also „A B" soviel wie „(A ɔ B)
und (B > A)", also soviel wie „(A ɔ B). (B ɔ A)“.
Äquivalente Sachverhalte sind z. B. die Bestimmungen „x ist
teilbar durch 15“ und „x ist teilbar durch 3 und durch 5“. Unter den
bestimmten Sachverhalten sind alle Tatsachen untereinander und alle
Untatsachen untereinander äquivalent. Denn sind A, B beide tat-
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