Kapitel V. Der allgemeine Transzendenzbeweis.
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auf eine Gleichung derselben Form mit rationalen Koeffizienten a, b,
... c zurückgeführt werden und auch nach Multiplikation mit dem
Generalnenner auf eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten a,
b, . . ., c.
Sind ferner die Exponenten a, ß, . . . gebrochene algebraische Zahlen,
also von der Form:
α
Β΄
k'
k'
πο α', β', ... ganze algebraische Zahlen sind und der Generalnenner
keine ganze rationale Zahl ist, so kann man durch Bildung der Norm
des Ausdrucks:
a Ve + b Ve" + ·· + c = 0
.
über alle konjugierten Werte der kten Wurzeln eine Gleichung von
der ursprünglichen Form bilden, in der die Exponenten ganze algebra-
ische Zahlen sind; schließlich bilde man in dieser Gleichung noch
die Norm aus allen konjugierten Ausdrücken, die man erhält, indem
man für α, ß, ... ihre konjugierten Werte einsetzt.
In der entstehenden Gleichung treten dann zu jedem Exponenten
von e auch alle konjugierten Exponenten auf, und zwar haben die
betreffenden Glieder gleiche Zahlenkoeffizienten. Folglich kann man
schließlich annehmen, daß die Gleichung, deren Unmöglichkeit zu
beweisen ist, die folgende Form hat:
Σε
ep
= C,
(I)
wo die erste Summe sich auf alle Wurzeln a, a', a", ... einer Glei-
chung f(x)=x"+0 mit ganzzahligen Koeffizienten, deren letzter
x²+
f(0) nicht Null ist, die zweite Summe sich auf alle Wurzeln ß, B',
p", ... einer Gleichung g(x) = x0 mit ganzzahligen Koeffi-
zienten, deren letzter g(0) nicht Null ist, bezieht und c eine ganze
rationale Zahl ist.
Die vorhergehende Reduktion ist natürlich nicht nötig, wenn
man nur die Transzendenz von e und beweisen will. Denn eine
algebraische Gleichung für e hat bereits die reduzierte Form I, und
wenn 2лi eine algebraische Zahl wäre, so bestände die Gleichung:
α
k
ec − 1 = 0,
woraus durch Normbildung über die konjugierten Werte von ɑ eine
Gleichung von der reduzierten Form I hervorgeht.
An diese reduzierte Form knüpfen also die Beweise erst eigent-
lich an. Dabei ist es wesentlich, daß die Konstante e von 0 ver-
schieden ist. Um das zu erreichen, falls es nicht der Fall ist, muß
man die gegebene Gleichung mit e-a multiplizieren, wodurch sie
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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