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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und .
Setzt man also:
(2p-l-1)!
G (α) = Σ —7—1)!?!
(p l!
= 0, 1,, p-1
α
(2p+1) (→ 2p+ 2) (1 − p)
a',
R(x) = (-1) Σ - 2
1=2p, 2p+1, ..., ∞
so ist identisch:
7!
e« F(a) — G(α) = R(α);
G
F
(I)
die 2p Koeffizientenverhältnisse der ganzen Funktionen F (von der
Ordnung p), G (von der Ordnung p-1) sind also so bestimmt, daß
die ersten 2p Glieder in der Entwicklung von e« F— G verschwindende
Koeffizienten bekommen. Der Quotient ist eine oskulierende Approxi-
mation von e". Auf der Gleichung (I) beruht nun der Beweis. Be-
stünde nämlich eine Gleichung aec, wo a, c, a ganz sind, so er-
hielte man durch Multiplikation mit F, worin jetzt p eine beliebig
große Primzahl ist, und Einsetzen von Fe G + R die Gleichung:
cF-aGaR. Links steht eine ganze, und zwar nicht verschwindende
ganze Zahl, denn in G(a) sind alle und in F(a) alle bis auf den
letzten Koeffizienten durch p teilbar, nur der letzte wird (-1)"; also
wird F(a), von Vielfachen von p abgesehen, gleich a², also nach
dem Fermatschen Satz gleich α =
(s. für a 2 auf S. 108; ebenso
allgemein). Rechts steht aber eine beliebig kleine Zahl, denn es
wird für 2p + 6:
=
∞
=
--
(ap) (p-1) (6+p-2)...(62) (6+1)
a+2p
| R(a) = Σ (+2p) (6+2p-1) (6+2p-2)... (6+p+2) (6+p+1) (o+p);
0=0
00
a+2p
6! p!
"
d. h. <
p!
2p
· ec,
Σ
σ = 0
also mit wachsendem p beliebig klein.
Als zweites Beispiel wollen wir die Unmöglichkeit einer drei-
gliedrigen Gleichung_a(e«+e") = c mit ganzen Zahlen a, c, a + a',
ad beweisen, d. h. also a, a' sind Wurzeln einer quadratischen Glei-
chung a+A+B=0 mit ganzen Koeffizienten A, B und B 0.
Wir multiplizieren die vorgelegte Gleichung mit
—
F(α, a') = Σ (− 1)' + ' (?) (?) (³ p — h—i— 1)! &'c'”,
h, i = 0, 1, 2, ., p
worin p eine beliebig große Primzahl ist.
(p-1)!
Die Glieder von der Ordnung <2p des Produktes e F(a, a')
werden:
(3p —
(p-1)!k!
i
Σ ( − 1 )' + ' ( 2 ) (?) (³ p − h − i − 1)!
ah+kα'i;
h+k+i<2p