Kapitel IV. Das allgemeine Beweisprinzip und die zwei einfachsten Fälle. 333
F(x, y...)
F(x, y...)'
F(x,y...)
F(x,y
.)
"
mit demselben Nenner zu approximieren und zu zeigen, daß die ge-
gebene Gleichung durch Multiplikation mit F(x, y, ...) eine Gleich-
heit zwischen einer nicht verschwindenden ganzen Zahl und einem
beliebig kleinen Rest ergibt, was unmöglich ist.
Dies ist der Grundgedanke der erwähnten Beweise, der aber erst
in dem Beweise des Verfassers einfach und deutlich sichtbar wird.
Wir wenden uns nunmehr zu den erwähnten beiden einfachsten
Fällen.
772
Zum Beweise der Irrationalität von en braucht man natürlich
nur diejenige von e für positive ganze Exponenten a zu beweisen.
Multiplizieren wir
mit
α
ea =
--
1+
1!
2!
+ +
=
0
k!
so erhalten wir:
P
-
F (c) = Σ (− 1)' (?). (2 p
h=0
Σ (−1) ' ( 2 )
k = 0.00
h = 0..P
− h − 1)!
(p-1)!
k h
(2 p −
h
−
1)! a²+^
- α
(p − 1)! k!
Der Koeffizient von a' wird für l<p:
(2p-1)!
(p-1)! 7!
=
(2p-1-1)!
(p-1)!
(2p-2)!
( 12 ) p = 11) (1) - 1)
--
(2 p − 1 − 1)
(p-1)!
(P = ¹)
=
(p
!
·
( ( ~
(2p
!
a",
(2p-3)!
+ ( 2 ) (p = 1)! (1-2)!
~ ¹ ) − ( ? ) (?—1) + · · ·)
-
(2p71)!
(p − l − 1) ! l!
-
der Koeffizient von a' für p≤l<2p
gleich Null; der Koeffizient von a' für
S. 229 gleich:
(8)
(2p - 1)!
(p − 1)!l!
1 (3)
(p-1)/(-1)
(2p-2)!
- ( 1 ) (p = 1): (α = 1) :
(3)
(2p)
=
-1
.
(nach Relation I, S. 228);
wird nach Relation II, S. 229
≥2p wird nach Relation III,
(2p-3)!
+ ( 2 ) (p = 1) : (¿ = 2) :
(-1) (1-2)(2p-1)
(?)
+
(1-2) (1-3)2p-2)
-
1 — 2p + 1) · · · ( − p)¸
(− 1 ) p (l − 2 p + 1)
7!