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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und л.
diejenige von e². Da ferner Euler wußte, was allerdings erst von
Lagrange völlig streng bewiesen wurde, daß die Wurzeln quadratischer
Gleichungen in einen periodischen Kettenbruch entwickelbar sind, so
mußte ihm auch bekannt sein, daß weder e noch e² Wurzeln einer
quadratischen Gleichung sein können. Wollte man dasselbe für e³
schließen, so müßte man z. B. in einen Kettenbruch von er-
kennbarem Bildungsgesetz entwickeln.
1
€3
e³+1
Forestar ¹) fand die Teil-
nenner: 1, 8, 1, 16, 2, 1, 1, 2, 4, 1, 2, 11, 2, 1, 2, 36, 1,
8, 4, 17, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 90...,
welche ein Gesetz nicht erkennen lassen.
Aber Hurwitz 2) hat gezeigt, daß man hier noch einen Schritt
weiter gehen kann. Zwischen zwei unendlichen Kettenbrüchen mit
ganzzahligen Nennern, deren einer von irgendeiner Stelle an ist:
1
1
ka+
hb +1
ke +1
hd +
der andere:
k
1
h
=
1
1
ha+
ka+
kb + 1
hb+1
hc+1
ke+
kd+
besteht offenbar eine bilineare Relation; das gilt in folgender Weise
umgekehrt: Wenn zwischen zwei unendlichen Kettenbrüchen, deren
Teilnenner wachsende ganze Zahlen sind, eine bilineare Relation mit ganz-
zahligen Koeffizienten besteht, dann enden sie in der obigen Weise, wo
h und k ganze Zahlen sind. Dies angewandt auf die obigen Ketten-
brüche für
ergibt, daß e keiner Gleichung dritten
Grades genügt, denn eine solche läßt sich immer als bilineare Glei-
chung zwischen e und e², also auch zwischen und
-
e 1
e + 1
und
e2- 1
e²+1
e
e + 1
e2- 1
e+1
schreiben.
2
2
Allgemeiner kann man ebenso folgern, daß zwischen em und er keine
bilineare Gleichung bestehen kann; ebenso nicht zwischen tg und
tg
1
n
1
---
m
1) Hermite, Crelles J. 76 (1873), p. 342. 2) Hurwitz, Zürich. Naturf.
Ges. Vierteljahrsschr. 41 (1896) II, p. 34; phys.-ökon. Ges. Königsberg 1890.
1