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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und .
ist, was unmöglich.¹) Ähnlich läßt sich beweisen, daß auch
2
2:
23
e2 1 + + + +
1!
2!
3!
Die
irrational ist. Man muß dabei davon Gebrauch machen, daß n! genau
durch die (n 4) Potenz von 2 teilbar ist, wenn mit In die
Quersumme von n im dyadischen Zahlsystem bezeichnet wird.
Richtigkeit dieses Hilfssatzes ergibt sich durch den Schluß von
2n auf 2n + 1, und den Schluß von n auf 2n. Denn erstens ist
92n+1=1+92 n
1+9₂n und (2n)! und (2n+1)! sind durch gleich hohe
Potenzen von 2 teilbar; ist also (2n)! durch 22-92n teilbar, dann
(2n+1)! durch 22n+1)-22n+1. Zweitens ist
(2n)!= 2.4.6.8 2n 1.3.5... (2n − 1) = 2". n! 1.3.5... (2n-1)
teilbar durch
-
· · ·
weil 92n = In·
2"
=
+ (n-In) 22n-In
"
Setzt man jetzt n!= n;.2″-In, so daß n; eine ungerade Zahl ist,
so folgt aus
e2 =
-Σ
22n
n;
durch Multiplikation mit 2' (n-1); für eine hinreichend große Zahl
2m, so daß 2' (n-1);e² eine ganze Zahl wird:
2' + In
n -
2″ (n−1); (e² — 1 —
-
2n-1
(n − 1);,
=
n
(1
2
22
1+
+
n + 1
(n+1)(n+2)
+…..);
aber die Klammersumme rechts wird kleiner als
∞
Σ
2 k
1
=
n+
k=0
2
n + 1
-
n + 1
-
n 1'
-
und der Faktor, mit dem sie multipliziert ist, wird, wegen ¶„= 1,
v konstant, n beliebig groß, eine beliebig kleine positive Zahl. Eine
solche Gleichung ist wieder unmöglich.
1) Ebenso ist jede solche Summe
Ca
Cg
± ±
1,
1 l 4478
+
irrational, wenn l₁, l, l, ... wachsende ganze Zahlen sind und die c₁, c,...
endlich bleibende ganze Zahlen sind; also sind z. B. auch
a ( }; ±
1
1
5!
b
1
0!
1
1
+ ± 1 + · · · ) + ( ± 2 + 1 ± √ ² + ··
. .
2!
1
4! 6!
..)
1
nicht Wurzel einer
2
irrational für alle ganzen Zahlen a und b, d. h.: e und tg.
quadratischen Gleichung. Über Sätze dieser Art s. Stern, Crelles J. 37 (1848),
p. 95.