Kapitel II. Irrationalität von e und e².
325
b2n+1 Rn
-
b2n+1
b2n+1
1.3.5
...
0
(2n+1)
Σ (−1)←
x2k
(2k)! (2k+1) (2k+3)
1
...
(2k+2n+1)
· (1
x²
1
x¹
1.3
2!
2n + 3
+
4!
(2n+3) (2n + 5)
-...).
π
Wäre zweitens
-
2
so erhält man für x
2n+1
Vt2n+
2n
n
(Va)²" v. (Var) -
b
=
να
R₂,
=
π
ebenso:
2
wo wieder links eine ganze, rechts eine beliebig kleine positive Zahl
steht.
Auch dieser Beweis ist nicht auf die Irrationalität von tg
b
oder tg hyp auszudehnen.
a
b
a
Kapitel II.
Irrationalität von e und e². Sätze von Fourier,
Liouville, Hurwitz.
Neben dem Problem der Transzendenz von steht dasjenige
von der Transzendenz von e, das mit jenem eng verbunden ist und
ni
eine ähnliche geometrische Bedeutung hat. Die Transzendenz von e
bedeutet (s. S. 243) z. B., daß kein Hyperbelsektor mit rationalem
Inhalt konstruierbar ist.
Die bloße Irrationalität von e ist von Fourier¹) aus der Reihe:
bewiesen worden.
1
2!
e = 1 + + + +
...
Wäre e rational, so multipliziere man die Gleichung mit n!,
won hinreichend groß. In der Gleichung
n! (e — 1 —
(e-
1
1!
2!
1
=
+
1
n+1 (n + 1) (n + 2)
+
steht links eine ganze Zahl, rechts eine Summe, die positiv, aber
kleiner als
1
1
1
+
+
n + 1
(n + 1)² (n + 1)s
+
1) Stainville, Mélanges d'analyse 1815, p. 339.
=
1
n