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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und .
U, V von der Ordnung n so zu bestimmen, daß dieser Ausdruck
mit einer möglichst hohen Potenz von x beginnt.¹) Wir wollen statt
der Kreisfunktionen die hyperbolischen nehmen:
cos hyp z =
+
e-
-
sin hyp z =
2
2
Setzt man
ete:
R_1
Ro
=
-e
2z
1
R₂
n
(2k + 2n + 1)'
so ist identisch:
daraus folgt:
allgemein
:
22k
(2k)! (2k + 1) (2k + 3) ·
R_₁- R₁ = 2² R₁,
Ro
R 3R₁ = 2² R2,
―
R₁ — 5 R₂ = z² R3,
R₂-1
'n-1
-
-
22
(2n+1)R, R₁₂+19
=
− 3R_₁ + (3 + z²) R。 = ♬¹R₂,
-
1
(15+ 2²) R_1 + (15+62²) R₂ = 26 R3,
-1
- (105+10%)R_1+ (105+45≈²+24) R。= 28 R, usw.
Un cos hyp z + V₁ sin hyp z =
n
n
2+1 R
wo U, V ganze, ganzzahlige Funktionen und wo der Grad von U
die größte ungerade Zahl ≤n, der von V, die größte gerade Zahl
<n ist. Natürlich konnte man dieselbe Gleichung für cos und sin
herleiten, oder man ersetzt in jener durch und erhält eine
- x²
Gleichung von der Form:
U cos x + sin x =
z
-
Vn
x²+1 Rn
b
Wäre für x
=
jetzt tg x rational gleich P
Ρ
so erhält man
"
a
q
"
a²n+¹ (U„q + V₂p) = √p² + q² · b² +¹R₂;
das ist unmöglich, weil links eine ganze Zahl, rechts eine beliebig
kleine positive Zahl steht. Denn es ist
1) Lambert erreichte dasselbe, indem er auf sin x und cos x den Eukli-
dischen Kettenbruchalgorithmus anwandte.