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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und л.
wenn
m
auch
n+
ein positiver oder negativer echter Bruch ist. Folglich ist
n
ein positiver echter Bruch¹), ebenso
m'
n'+
n
"
also auch:
Also überhaupt:
b
a
ebenso:
m
m
n + ε
n' + ε"m"
n
"
usw.
m
n+ &'m'
n' + ε"m"
n'"+
m'
n' + ε"m'
n" + usw.
Also würden die Zahlen a, b, c, d, ... eine Reihe positiver ganzer
abnehmender Zahlen sein, was unmöglich ist.")
m
n
Aus diesem Hilfssatz folgt, daß tg irrational ist; denn die
Voraussetzungen sind für den obigen Kettenbruch, wenn nicht von
Anfang an, dann doch sicher von einem späteren Gliede ab, erfüllt.
m
1) Dieser Schluß ist bei +1 schon möglich, wenn nur ≤ 1, statt
n
1 vorausgesetzt wird. Übrigens ist noch der Fall auszuschließen, daß der
Kettenbruch von irgendeinem Gliede an die Form hat:
m
n
m
m'
m+1
m"
m'+1
m" + 1
da dieser letztere
1 ist.
2) Der Beweis dieses Hilfssatzes beruht auf der völlig unbewiesenen An-
nahme, daß jeder solche Kettenbruch
m
n+ &'m'
n'+
ε=
ohne weiteres einer bestimmten Zahl gleich gesetzt werden kann. Die erforder-
lichen Konvergenzbeweise haben unter der Voraussetzung, daß alle +1 oder
alle = 1 sind, erst Seidel (Untersuchungen über die Konvergenz und
Divergenz der Kettenbrüche, Diss. München 1846; Münch. Akad. Abh. 2. Kl. VII,
1855, p. 582) und Stern (Crelles J. 37, 1848, p. 264, 266; Algebr. Analysis,
p. 301), für beliebige erst A. Pringsheim (Münch. Akad. Ber. Math.-phys. Kl.
XXVIII, 1898 (1899), p. 295) geliefert.