Kapitel I. Irrationalität von л und я².
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R(*)
D
daß auch ganze Zahlen sind. Demnach hätte man eine Reihe
ganzer beliebig klein werdender Zahlen, was unmöglich ist. Ähnlich
ist der Beweis von Gauss ¹), der aber von den Größen
Ꭱ .
=
+m"
h+ 2k
h! (h + 2) (h + 4)
· (h + 2k) n"
4+k
h = 1,3,5,...
direkt zeigt, daß sie unbegrenzt abnehmen.
Legendre benutzt zu demselben Zwecke den Hilfssatz 2): „Ein
Kettenbruch:
m
ε'm'
n+ ε m
n'+
n'+
wo die & Vorzeichen bedeuten, alle Teilzähler und nenner positive
ganze Zahlen sind und
Wert."
m
m
"
9
<1 sind, hat einen irrationalen
n
n
Beweis: Angenommen, der Kettenbruch hätte den rationalen
Wert so bestimme man die positiven Zahlen c, d, aus:
b
...
so folgt:
also:
m'
=
ε"m"
n't
n'"+
"
d
m
usw.
с
ε 'm'"
n''+
n'"+
b
a
m
n + ε
с
b
с
m'
b
d'
n' + ε
εc
= ma― nb,
ε"d = m'b
-
- n'c,
so daß auch c, d,
ganze Zahlen sind.
Andererseits folgt, daß jeder der Brüche
m
n
m
Bruch ist. Denn mit ist auch
n + w
a
...
ein echter
ein positiver echter Bruch,
1) Werke VIII, p. 27. Vgl. auch weiter unten den Beweis von Hermite.
2) Elements de géométrie (12e éd. Paris 1823), p. 296.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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