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Achter Teil. Irrationalität und Transzendenz von e und л.
mNnM - R',
m² M = 3n R'- R",
m² R'= 5nR"- R"",
m² R(-2) = (2k-1)n R-1) — R(*),
oder, was dasselbe ist:
R'=nM-mN,
R"- 3n R'- m² M,
=
R"" 5nR"- m²R',
:
-
-
R(2-1)n R(-1) — m² R(k-2).
Andererseits werden die Näherungswerte des Kettenbruches
bezeichnet mit
m
m
tg
n
m
n
3 n
A'
A"
A'""
B' B
B
so daß also:
A(k)
-
=
-
1)
(2 k − 1)n A - ¹) — m² A(k − 2),
-
A(0)
ist.
Da nun
und
B) = (2k-1)n B(-1) — m² B(-2)
-
=
R' MB' - NA'
R(0)
-
M BONA(0)
ist, und für die drei Reihen
RO, RO, R(2),
=
=
0,
A(¹) — m,
B(0)
=
1
B(1) =N
A, A, A, ...,
Bº), B(¹), B(²),
dieselbe Rekursionsformel gilt, so ist allgemein:
=
R) MB) — NA),
-
·
also (s. S. 266¹) beliebig klein. Wäre jetzt
M
μ
N
"
u, v teilerfremde
บ
ganze Zahlen, so sei MuD,
N = vD¹); dann folgt aus
R(*) MB - NA®,
-
1) Daß von M und N=√1- M² mindestens eine, also auch D irrational
sein muß, wie Pringsheim 1. c., p. 334 behauptet, ist nicht zu schließen, ist
auch zum Beweise nicht nötig.