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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
Die Formel von Vieta ist ein spezieller Fall der von Euler¹)
aufgestellten:
sin x
x
COS
x
2
x
x
•
COS 44 COS
COS
8
16
π
die für x=
2
die Vietasche Formel liefert.
schen Formel ergibt sich aus:
Der Beweis der Euler-
sin
sin x
x
wenn man diese für
x x
"
2 4
x
8
x
2
•
X
2
x
COS
2
,... bildet, das Produkt der entstehen-
den Formeln nimmt und beachtet, daß
x
sin
2n
lim
-
1
n=∞
x
27
ist. Diese Formel liefert eine ziemlich einfache konvergierende Kon-
struktion.2) Man konstruiere zunächst das rechtwinklige Dreieck
OBA mit der Hypotenuse OA = 1 und dem Winkel OAB = x, im
Anschluß hieran das rechtwinklige Dreieck
x
M
ཆུ་
OBC mit BOC
x
x
=
2
darauf ▲ OCD mit COD usw., dann ist:
=
sin x,
4
ов
=
sin x
sin x
OC
=
OD
=
x
x
x
COS
COS
COS
2
sin x
OE
9
x
x
x
COS
·
COS
COS
sin x
OF=
usw.,
EF
x
Xx
x
x
COS
COS
·
COS
COS
8
16
1) Comm. Acad. Petr. (1737) VII, p. 234, VIII, p. 157. Euler hat aus ihr auf
fünf Stellen berechnet. Diese Formel wurde oft wieder gefunden, so von A. Grunert
(Abh. 1822), L. Réalis (Nouv. ann. (2) IX, 1870, p. 12), L. Seidel (Crelles J. 73,
1871, p. 273), Dobinski (Archiv 61, 1877, p. 434), Barrois (Gergonnes Ann. IV,
1813, p. 360), Grebe u. Scheffler (Archiv XII, 1849, p. 181, XIII, 1849, p. 419),
Ligowski (Arch. 55, 1873, p. 218), Dickstein (ib. 56, 1874, p. 332), Glaisher
(Messenger (2) VII, 1878, p. 191, IX, p. 124, s. auch Hart 191). Zu Vietas
Formel s. auch Maurice Fouché (Bull. d. 1. soc. de Fr. XVIII (1890), p. 135).
2) Diese Konstruktion findet sich oft in nur wenig verschiedenen Formen,
z. B. bei Fontana, Mem. mat. fis. Soc. Ital. 1784; H. Scheffler, Verhältn. d.
Arithm. z. Geom., Braunschw. 1846, p. 108, Grunerts Archiv XIII (1849), p. 419;
Göring, Hoffm. Ztschr. f. Math. u. Nat. Unt. 35 (1904), p. 509.