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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
F. J. van den Berg¹) und A. H. Anglin'); solche mit dem Zirkel
allein Mascheroni.³)
Ebenso gehört hierher der aus
folgende Wert 4):
π
cos Ꮖ =
= tg x = 4
15101+15=0,786151... statt 0,785398……,
4
2
ferner der indische Wert (S. 184)
Π V10
und die von Huygens (S. 195¹)) z. B.:
1
Π 3+ S4
=
3,14142...,
10
der zwar nicht sehr genau, aber bequem zu konstruieren ist.
Um systematisch solche Approximationen zu finden, hat man im
einfachsten Falle nach quadratischen Gleichungen (vgl. S. 283)
а + bx + cл² = 0
mit möglichst kleinen Zahlen a, b, c zu suchen. Eine solche Glei-
chung ist z. B.:
39
81
π² +
π=
4
29
woraus sich die Konstruktion ergibt: Man teile (10 − 1 )
von außen
zum Produkte 192, der kleinere Abschnitt ist 3,14158.
Quadraturen.
Jede Rektifikation liefert natürlich zugleich eine Quadratur und
umgekehrt. Will man aber gleich die Seite des dem Kreise flächen-
gleichen Quadrates nahezu konstruieren, so sind solche Näherungs-
werte von geeignet, für die auch V rational ist. Lambert 5) hat
eine Reihe derselben aufgestellt. Das Verhältnis der Quadratseite
zum Durchmesser V: 2 ist nahezu 7:8, 8:9, 31: 35, usw. Das
erste Verhältnis fanden wir bei Baudhayana (S. 177), das zweite bei
1) Nieuw Archief voor wiskunde. Amsterdam IV (1878), p. 200.
2) Messenger of Math. (2) XIII (1884), p. 165; XIV (1885), p. 185.
3) Mascheroni, Géométrie du compas, frz. von Duprat (Paris 1798), 248;
s. auch Gergonnes Ann. VIII (1818). 4) Crelle, Crelles J. 3 (1846), p. 91.
5) Beiträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung II
(Berlin 1770), p. 140: Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und
Rektifikation des Zirkuls suchen, spez. p. 143.