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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
Den Verlauf des Fehlers stellt S. Günther (1. c.) folgendermaßen
graphisch dar:
246
18 22
Kapitel IV.
Rektifikation und Quadratur.
Quadrierbare Kreisbogenvielecke.
n-1
Von den ältesten Quadrierungsversuchen sind diejenigen des Hippo-
krates (s. S. 1774)) von Interesse, da sie wirklich zu Resultaten führten,
nämlich zur Quadratur gewisser Kreisbogenzweiecke und -dreiecke. Be-
trachten wir die Frage allgemein. Es sei PP1, . . . Pn.
ein gerad-
liniges n-Eck. Über seinen Seiten PoP1, P1 P2, ... P-1 Po werden teils
nach außen, teils nach innen Kreisbogen geschlagen, wodurch die ur-
sprüngliche Fläche um Kreissegmente teils vermehrt, teils vermindert
wird. Soll das entstandene Kreisbogen-n-eck wieder quadrierbar, d. h.
flächengleich einem konstruierbaren Quadrat sein, so muß die alge-
braische Summe der hinzugekommenen Segmente oder auch der zu-
gehörigen Sektoren quadrierbar sein. Sind r₁, 2, . . ., r, deren Radien,
241, 292, ..., 29, ihre Zentriwinkel, positiv bei Bogen nach außen,
negativ bei Bogen nach innen gerechnet, so muß also die Summe:
+ +¶nrn
2
2
quadrierbar sein, während zugleich die Größen:
r, sin q₁, r sin 9,...
2
2
(1)
gegebene Werte haben. Danach ist es leicht, beliebig viele quadrier-
bare Kreisbogen-n-Ecke herzustellen. Es sei z. B. n = 3; man wähle
für 91, 92, ¶3 drei Zentriwinkel konstruierbarer regulärer Polygone:
91
λπ, φα
=
2
-μπ, 43
=
υπ,
so daß also λ, u, v rationale, teils positive, teils negative Zahlen sind.
Dann wähle man die Strecken x, y, z, die der Gleichung:
2x²
μy 2
+
sinλπ sin2
μπ
v22
+
sin² Vπ
0
(2)
genügen und aus denen ein Dreieck gemacht werden kann.
Das ist immer möglich, wenn der durch (2) dargestellte Kegel
eine der Ebenen