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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
х
n sin
sin x
OP+ cos x
n
X
OP+ cos
n
das gibt in zweiter Annäherung:
+
n²
OP 2
sin vers x.
5
Ein ganz anderer Gedanke liegt Vietas approximativer Kreis-
teilung¹) zugrunde. Ist ABS, so behauptet er, daß
Bhty
Br
Bn-1
PnP P
P+1 P₂
P₂P₂-1
ist; so daß also z. B. das Siebeneck aus dem
Sechs- und dem Achteck gefunden werden könne
u. dgl. Die
Vietasche Behauptung kommt
Π
ctg darauf hinaus:
n
wegen OP
=
π
π
ctg
+ ctg
π
n+1
n
-
2)
ctg n
2
Π
zu setzen, oder tg als harmonisches Mittel zwischen tg und
π
tg
n 1
π
n
π
n
n+1
zu nehmen. Das ist um so genauer richtig, je größern, weil
Π
und
n+1
π
n 1
-
genau harmonisches Mittel zwischen
ist. Der
Vietaschen kann man, sie ergänzend, eine zweite, noch bessere an
die Seite stellen, wenn man den tangens durch den sinus ersetzt,
der ja dem Bogen noch näher gleich wird; dann hat man also
Π
Π
cosec
+cosec
cosec
π
n
n+1
n—1
AP
2
²), d. h. AP₁ =
+AP
n+1
N-
1
2
=
1
Differenz
=
1,3764
0,3764
O PË
-
1,7321
0,3557
zu nehmen, wonach ebenso leicht zu konstruieren ist. Zum Vergleich
der Genauigkeit dienen folgende Zahlen:
OP₁
OP
=
APA
=
1,4142 Differenz
0,2871
AP
1,7013
AP6
=
2,0000
0,2987
OP₁
0,3442
= 2,0763
ᎪᏢ
0,3042
-
2,3042
0,3379
OP = 2,4142
AP
=
= 2,6131
0,3089
OP
= 2,7475 0,3333
0,3107
AP
=
2,9238
OP 10
=
3,0777
0,3302
AP10
=
3,2361
0,3123
1) Opera p. 283. S. Cantor II, p. 541. Er ist auch zur Bogenteilung
brauchbar.
2) Genauer
statt.
3) Genauer statt.