Kapitel III. Approximative Kreisteilung.
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Von dieser Art sind noch einige Konstruktionen Marpurgs (1. c.),
beruhend auf
811 = 1/3
1
(cos
2π
11
5
-
und S√3-1,
6
und zwei weniger einfache Konstruktionen des 9- und des 11-Ecks.
Ferner die Konstruktionen Mascheronis¹) der Sehnen zu 1º, 1' u. dgl.
Von größerem Interesse sind diejenigen Approximationen, die, wie
die bei Heron 2) S
6
n
und die von Leonardo da Vinci ³)
S=
n
für unbestimmte n gelten.
Setzt man
π
COS
37x.
2
zufolge ist
1
n
=
n
6
x, so erhält man Approximationen von
z. B.
Die älteste solche Näherungsformel hat Bhâskara¹); der-
4d. B(P-B)
S
5
P2
-
B(P-B)
4
worin s die Sehne, d den Durchmesser, B den Bogen, P die Peripherie
bedeuten. Diese merkwürdige Formel, deren Entstehung für rätsel-
haft gilt, nimmt sofort eine sehr ansprechende Gestalt an, wenn man
in ihr
π
P = 2x, B = x (1 + x), s = 2 sin ½ (1 + x)
setzt, nämlich:
π
-
2 cos
2
x, d
2
1 x²
COS
===F
1+ x2
4
Diese Formel ist genau richtig für x = 0, ±1, ±
2
Man kann
3
Π
2
überhaupt nach approximativen Darstellungen von cos x durch
eine linear gebrochene Funktion von x fragen. Verlangt man, was
naturgemäß ist, daß sie an den Stellen x 0,1 genau richtig sein
soll, so hat sie immer die Form:
=
π
COS X =
1-x²
1+nx²)
1) 1. c. art. 232 ff.
2) Liber geeponicus, ed. Hultsch, Berlin 1864, p. 225.
3) Le manuscrit A de la bibliothèque de l'institut, publié par Ch. Ra-
vaisson-Mollien, Paris 1881; M. Cantor, Leonardo da Vinci, Wester-
manns Monatshefte 1878, p. 369 ff.; P. Tannery, Bull. d. sc. math. et astr. (2)
X, p. 13 ff.; Venturi, Essai sur les ouvrages physico-mathématiques de Leonardo
da Vinci, Paris 1797.
4) Siddhânta - Ciromâni ed. Wilkinson, p. 263/268; Lilavâtî ed. Cole-
brooke, 94 § 213.