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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
Die ungenauere Konstruktion hat Marpurg übernommen¹); dieser
konstruiert ferner das Elfeck aus tg
Π
1
22 7
was mit der Heroni-
schen Formel übereinkommt und 16° 15′36″ statt 16° 21' 49" ergibt,
das 17- und 19-Eck aus
$17
=
11
30'
$19
=
1
3
•
2)
Statt auf rationale Näherungswerte kann man auf quadratisch
irrationale ausgehen. So hat Dürer eine Näherungskonstruktion für
das Fünfeck³), die insofern von Interesse ist, als sie mit einer Zirkel-
öffnung ausgeführt wird.¹) Für das Siebeneck ist die Regel: „Die
Siebenecksseite ist nahe gleich der halben Dreiecksseite" von hohem
Alter; sie findet sich vielleicht schon in dem von den Arabern Casiri
und Abul Faragi dem Archimedes zugeschriebenen verlorenen „Liber
de septangulo in circulo". Sie steht bei Heron 5), Abul Wafa) (940
bis 998); Jordanus Nemorarius (1170)7) bezeichnet sie als indische
Regel, Dürer (1. c. ander Büchlein Nr. 11) „als einen gemeinen Weg,
den man von Behendigkeit wegen in der Arbeit braucht". Kepler)
schreibt sie also mit Unrecht Dürer zu.9) Auch Lionardo da Vinci hat sie.
Diese Regel, die man auch in der rationalen Form cos
darstellen kann, ergibt als Zentriwinkel 51° 19' 4" statt 51° 25′ 43″.
Derartige Näherungswerte sind zu begründen bzw. aufzusuchen durch
Kettenbruchentwicklung der Wurzeln von Kreisteilungsgleichungen.
Z. B. ist 2 cos
(s. S. 83):
2 π
7
=
5
2 π
7
-
5
8
ein sehr guter Näherungswert der Gleichung
x²+x²-2x-1=0.
1) Marpurg, Anfangsgründe des Progressional kalkuls (Berlin 1773), p. 435 ff.
2) Auch Oronce de Fine (De rebus mathematicis hactenus desideratis
1556) enthält Konstruktionen von S3, S5, S7, 8111 $13.
3) Chasles schreibt sie mit Unrecht Dürer zu; sie findet sich schon in
der,,Geometria deutsch", vgl. Cantor II, p. 413.
4) Solche Konstruktionen behandelt zuerst Abul Wafa, später Cardano,
Tartaglia, Ferrari, Lionardo da Vinci u. a. Auch die späteren Griechen scheinen
solche Konstruktionen gekannt zu haben (s. Pappus 1. c. Cantor I, p. 383).
5) l. c., p. 54/55, unbewiesen; man hatte sich wohl durch den Versuch von
der Brauchbarkeit überzeugt. Übrigens verweist hier Heron nicht, wie sonst
oft, auf Archimedes.
6) Abul Wafa, Buch der geometrischen Konstruktionen, s. Cantor I, p. 638.
7) De triangulis, lib. IV. prop. 23, p. 43/44 der Ausgabe von H. M. Curtze,
Mitt. d. Coppernicusver., Thorn 1887. VI. Cantor II, p. 76.
8) Harm. mundi Lib. I., p. 39. Kästner (1. c., p. 249) legt sie nicht Dürer
bei, wie S. Günther meint (1. c., p. 8).
9) Auch die von Chr. Clavius (Geometria practica 1606 lib. VIII, Prop. 30,
Theor. 12) dem Carolus Marianus Cremonensis zugeschriebene Regel kommt auf
dasselbe hinaus. S. ferner M. Curtze, Bibl. math. (3) II (1901), p. 57.
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