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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
ist. Das gibt für jeden (spitzen) Winkel ACD=q eine approximative
Dreiteilung, indem man z. B.
3
4
ф
AOD=39, ABD = — 9
2
wählt; oder eine Fünfteilung für
5
AOD=19, ABD
=
8 9 usw.
4
Allgemeiner kann man nach der Lage des Punktes P fragen,
dessen Geraden [PYX] die zu den Winkeln a = AOD und ẞ= ACD
P C
E
-
gehörigen Bogen AD und ED
nahezu proportional teilen. Nimmt
man OA = 1, so findet man in
zweiter Annäherung:
OP 2-
β
α + B'
Daraus ergeben sich zu jedem Winkel ẞ approximative Teilungs-
punkte für einen gegebenen Winkel a und umgekehrt. Wählt man
z. B. ẞ = 0, also CD || OA, so geht der zu ẞ gehörige Kreisbogen
in die halbe Sehne von 2a über, und es wird OP 2, man erhält
also den Snelliusschen Trisektionspunkt. Wählt man z. B. ß
so wird OP = 11, usw.
7'
3
= α,
4
Winkelteilungen sind in Menge aufgestellt worden, aber sie sind
fast immer schlechter als die klassischen von Snellius und Lambert,
meist nicht einmal so gut, wie die von Dürer (S. 290).
Z. B. die von König kommt darauf hinaus, daß man von dem
vermittels des Snelliusschen Rektifikationspunktes rektifizierten Bogen
den nten Teil als sin des ten Teiles des Bogens nimmt. Genauer ist
es offenbar, wenn man von dem mit Hilfe des Snelliusschen oder
des Lambertschen Rektifikationspunktes rektifizierten Bogen den nten
Teil wieder mit dem Snelliusschen oder dem Lambertschen Punkt
(nach S. 204) arkufiziert.
Von großem Interesse ist die approximative Bogenteilung von
Laguerre.¹)
Die Gleichung:
( n ) n ( n + 1). (1 − x) ² — · · · — 0
n² (1 − x) + (2)
1.2
sin vers a
α
hat nach S. 251 die größte Wurzel x
= COS
Wir wenden auf sie
n
1) Nouv. ann. de math. (2) 19 (1880), p. 161, Comptes rendus 90 (Paris
1880), p. 304
=
Oeuvres I (Paris 1898), p. 98, 106.