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Siebenter Teil. Konstruktive Approximationen.
durch bloße Konstruktionen geometrischer Mittel ausgeführt werden.¹)
Man konstruiere der Reihe nach:
a=√α a₁, a₁ = Vaα,
=
az = √ açα,
usw., so daß in der Reihe a, a, a, ... jedes Glied das geometrische
Mittel der beiden vorhergehenden ist. Die Größen a, nähern sich
mit wachsendem h der gesuchten Kubikwurzel. Solche Konstruktionen,
die aus einer unbegrenzten Anzahl von Schritten bestehen, sollen
konvergierende genannt werden.
Auch die n-Teilung des Winkels und die Ausziehung der nten
Wurzel ist durch konvergierende Konstruktionen ausführbar, und zwar
auf Grund solcher Gleichungen, wie z. B.:
1
14
-
5
1/168 +
1
64
1
1
-
1
1
+ + +
82 83
da sich ja allgemein jeder Bruch in einen dyadischen (überdies peri-
odischen) entwickeln läßt.
Der approximative Trisektionspunkt hat eine zweite Bedeutung.
Ist RT
Winkel-n-Teilung.
1
-
3
RQ, so schneidet PT von QS = sin x nahezu
x
х
sin
2 + cos
3
3
1
2+ cos x
sin x
3
(Fig. S. 291); denn es ist:
ab
Allgemeiner wollen wir denjenigen Punkt P mit OP=≈ aufsuchen,
der in derselben Weise die n-Teilung des Bogens vermittels der
n-Teilung der zugehörigen Sinusstrecke ermöglicht, für den also:
x
sin
z + cos
n
1
sin x
n
X
n
z + cos x
ist. Das gibt in erster Annäherung wieder z 2, in zweiter An-
näherung:
1+
5
n
2
sin vers x,
also für n = 3 den oben erwähnten Trisektionspunkt; für n∞ den
Lambertschen Rektifikationspunkt.
1) Buteo, Ad problema cubi duplicandi. Opera geometrica 1554. Neuer-
dings wieder angegeben von Vargiu 1877; s. Enriques, p. 223.