Kapitel I. Wurzeln.
289
Yo
=
а У1 - Уо
B x₁
―
By1
- Yo
y₁ =
α x₁- xo'
also bleibt für jede Wahl des Verhältnisses a: ß das Produkt yoʻyı',
also auch das Produkt
yo y₁
f'(x) f'(x₁)
unverändert; demnach wird der
größere der beiden Quotienten (zugleich auch die Summe ihrer Qua-
drate und die Summe ihrer absoluten Werte) möglichst klein, wenn
beide gleich werden. Aus
folgt aber
also:
Yo
f'(x)
=
y₁
f'(x)
f'(x0) Уо
=
f(x₁) Y1
7
9
-
"
a: B=Vf'(x): Vƒ′(x₁) ·
Das entspricht der Heronischen Formel, denn für den Fall
wird
f(x) = √x
also:
2
f'(x)
= x²
3
α: B
=
20
was zu beweisen war.¹)
1
3
1
3
: x1
· f(x₁) : f(x。),
Bei Kurvenbogen, die, wie bei y =
=Vx,
konvex oder ganz konkav sind, kann man das Verhältnis
α: β
f(x)-f(x) f(x) − f(x。)
X1 х
x-xo
auch als das geometrische Mittel aus dem größten und dem kleinsten
Werte dieses Verhältnisses definieren, da diese, wie geometrisch er-
sichtlich, an den Endpunkten des Bogens angenommen werden und
die Werte haben:
f'(x₁):
f(x₁) − f(x0)
X1-xo
und
f(x₁) — f(xo)
: f'(x).
X1 - Xo
Es ist sehr merkwürdig, daß sich ein zweites Beispiel für die
Heronsche Interpolation bei Gauss 2) findet. Ist nämlich
y
= arc ctg x
1) Solche Fälle pflegte Kronecker in seinen Vorlesungen treffend mit
den Worten zu kennzeichnen: Die Auflösung ist gegeben, die zugehörige Auf-
gabe wird gesucht.
2) Werke VIII, p. 129.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
19