Kapitel I. Wurzeln.
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sagt, keine vor. Um so interessanter ist ein auf ganz andrer Grund-
lage ruhendes Verfahren zur Kubikwurzelziehung, das Heron angibt.
Gebrochene Interpolation bei Heron und Gauss.
Heron¹) hat ein besonderes Verfahren zur approximativen Kubik-
wurzelziehung. Er erläutert die allgemeine Regel an dem Beispiel
100. Seine Rechnungsvorschrift lautet in der Übersetzung von
H. Schöne wie folgt: „Nimm die 100 nächstkommende Kubikzahl,
sowohl die nächstgrößere als die nächstkleinere. Es sind 125 und 64.
100- 25
125
100 -
36
5 ×
[4 × 25
180 + 100
=
=
=
64 36
180
*
100]
-
280
180
9
280
14
4 +
14
So groß wird annähernd 100 sein."
=
-
49/14
3
Die eingeklammerte Gleichung habe ich hinzugefügt; ohne sie
ist das ganze Verfahren unverständlich. Aus diesem Rechnenschema
abstrahiert man die Regel: „Hat man bereits a>> b gefunden,
so ist zwar ein genauerer Wert von V derjenige, welcher das Intervall
ab im Verhältnis der ‚Fehler a³x: x-b³ teilt (Interpolation
nach Proportionalteilen oder regula falsi); aber noch genauer ist es
das Teilungsverhältnis im Verhältnis von b: a zu verkleinern." Da-
mit ist zugleich der empirische Weg angedeutet, auf dem Heron
vielleicht diese Regel erhalten hat. Er ist damit zu einer merk-
würdig guten, außerdem der Verallgemeinerung fähigen Näherungs-
methode gelangt Um das zu zeigen, sei f(x) eine reelle, im Intervall
, stetige Funktion. Es soll der Wert f(x) für x < x < x₁ aus
den bekannten Werten f(x), f(x,) näherungsweise ermittelt werden.
Die regula falsi ergibt:
also:
----
--
f(x,) − f(x) : f(x) − f(x。) = x₁ — x : X
-
-
f(x) = x = x, f(x0) +
Xo-x1
x
xo
f(x₁);
Xo-x1
-
X 0 .
das ist der einfachste Fall von Lagranges Interpolationsformel (s.
1) Metrica (ed. H. Schöne, Leipzig 1903), p. 178, 179.