Kapitel I. Wurzeln.
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Mascheroni gibt Konstruktionen an, einen Würfel zu ver-3-,
4-, 5-, 6-, 7-, 8-fachen ¹), und zu hälften.")
Allgemeine Approximationen.
Diesen speziellen (numerischen) Methoden muß man die all-
gemeinen (algebraischen) an die Seite stellen, welche die zu approxi-
mierende Funktion durch eine konstruierbare, insbesondere eine ratio-
nale angenähert ausdrücken. Quadratwurzeln wurden approximiert,
indem das geometrische gleich dem arithmetischen Mittel
Vab= a +
a+b
2
(1)
gesetzt wurde. Dabei wurde) für a als erster 1) Näherungswert die
der gesuchten Wurzel nächste (nächst kleinere oder nächst größere)
ganze Zahl gewählt, wenigstens im allgemeinen.5) Setzt man
a1
=
a + b
2 "
b₁
-
2ab
a+b
(harmonisches Mittel),
a₁ + b₁
=
usw.
2
so ist ab₁ = ab, und man kann in derselben Weise
ag
als bessere Näherungswerte berechnen. Das entsprechende Kubik-
wurzelverfahren: Vabc zu approximieren durch die drei arithmetisch-
harmonischen Mittel (s. S. 81):
3abc
a+b+c
3,
b₁
=
bc + ac + ab
a+b+c
C1
=
be + ac + ab'
scheint weder im Altertum noch später angewandt worden zu sein,
auch der speziellere Fall ca nicht:
Va²b÷ 2a+b
3 "
1) 1. c. art. 276.
2) 1. c. art, 277.
3) So lautet die
Vorschrift bei Heron (Metrica ed. Schöne, p. 18/19).
4) Ein zweiter Näherungswert ist z. B. bei Heron (1. c., p. 58/59)
1
V2
2
- 2 ( 3 + 3) =
4
17
12
(2)
5) Abweichend, um möglichst einfache Zahlen zu bekommen, z. B. bei
Heron (1. c.)
√207 = (15+13%) (p. 56/57), 1969+10%) (p. 132/133),
1
2
V126
1
(12+10,5)
2
(mit Vernachlässigung des Bruchs im Radikanden, p. 144/145); der Bruch in
der Wurzel wird gelegentlich durch einen für die weitere Rechnung einfacheren
ersetzt, z. B. p. 157
1
(1212) statt (12+12%).
2