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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
B. Lamy hatte 128 Ziffern berechnet.¹) Später berechnete Vega³)
nach den Formeln:
75 arc tg+2 are tg
3
79
= 2 are tg + are tg
1
3
7
(1789 und 1794) 126, bzw. 140 Stellen. Nach der letzteren wie nach
der Machinschen Formel rechnete auch Clausen), der 1847 248
richtige Stellen gab. Ende des 18. Jahrhunderts fand Baron Zach in
der Radcliffe Bibliothek, Oxford, ein Manuskript eines unbekannten
Autors, welches auf 154 Stellen gab (152 richtige).*) Ruther-
ford) berechnete 1841 208 (152 richtige) Stellen aus:
π
4
=
1
1
4 arc tg
―
arc tg + arc tg
5
70
1
99'
und Dahse) berechnete nach der Formel von v. Schulz (1844)
π
-
4
= are tg+are tg+are tg
205 (200 richtige) Stellen. K. Buzengeiger gab die Formel:
I4 -8 are tg 1-4 arc tg 515
4
10
1
1
-
arc tg
239-7
Besonders brauchbare Formeln dieser Art gab Gauss:8)
π
12 arc tg
4
18
57
+8 arc tg-5 are tg
239
9
π
44 12 arc tg
1
+ 20 arc tg
+7 are tg
38
57
1
239
+24 arc tg
1
268
Rutherford) gab 1853 440, W. Shanks 10) in demselben Jahre
530, dann 607 Stellen. Richter"), diese Rechnungen nicht kennend,
gab erst 333, dann 400, schließlich 500, W. Shanks 12) 707 Stellen
nach Machins Formel (1873/74).
1) S. Wolfram an Lambert, Lamberts Briefwechsel IV, p. 480.
2) Thesaurus logarithmorum (Leipzig 1794), p. 633, Nova acta 1790 (1795)
IX, p. 41; s. auch Klügel, Hindenburgs Archiv 2, (Leipzig 1798), p. 308.
3) Astron. Nachr. 25, p. 207.
4) Vgl. R. Ball, Mathematical recreations and problems. London (1892),
p. 172. Thibaut, Grundriß der reinen Mathematik, 4. Aufl., 1822, p. 314.
5) Phil. Trans. 1841, p. 283.
6) Crelles J. 27 (1844), p. 198.
8) Werke II, p. 525.
Wash. I (1880), p. 57.
7) S. Klügel I, p. 666.
Vgl. auch E. Frisby, Bull. of the philos. Soc. of
9) Proc. R. S. 6 (1853), p. 273
11) Grunert Arch. 21 (1853), 22 (1854),
zeiger 1854, Nr. 85.
10) ibid. p. 273.
23 (1855), 25 (1855); Elbinger An-
12) Proc. R. S. (1872/73) XXI, p. 318, (1873/74) XXII, p. 45; Contribut. to
the math., Durham (1853), p. 86.