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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
das ist der Fall, wenn
A
π- 1
<p<1,
An
n
denn dann ist
| An-1
An+1
`n + 1
<p² < 1;
bis zu 1 hin wachsen, so auch die
| An-1
und umgekehrt, wenn
Quotienten
An
A-11
An
-1
An
An+1
Ꭺ .
n+1
Cyklotechnie.¹)
An die unendlichen Prozesse, insbesondere an die Reihen knüpfen
die Berechnungen der Zahl der zweiten Periode an. Die älteste
Reihe, die arctg-Reihe, benutzten Halley) und A. Sharp) (1699),
um durch Einsetzen der Tangenten von
π
Π
π
π
69 8 10' 12
die Zahl auf 13 bis 72 Stellen zu berechnen. Ebenso berechnete
De Lagny), der die Reihe selbständig gefunden hatte, mit tg
auf 127 Stellen (1719). Aber die Reihe konvergiert zu langsam"),
man mußte zuviel Glieder summieren. Die schneller konvergierende
arc sin-Reihe ist wegen der zusammengesetzten Koeffizienten zur Be-
rechnung weniger geeignet. Newton berechnete aus ihr (mit aresin)
14 Stellen.) F. C. Maier bestimmte aus dieser von ihm gefundenen
Reihe auf 4 Stellen, indem er x setzte und nur 5 Glieder
=
1
1) Vgl. hierzu: De Morgan, Pennycyclopädia 19, London (1841), B. de
Haan, Verhandelingen of Amsterdam 4 (1858), p. 22. Glaisher, Messenger of
Math. Cambridge 2 (1873), p. 119, 3 (1874), p. 27. Schubert, Die Quadratur
des Zirkels in berufenen und unberufenen Köpfen. Hamburg 1889.
2) S. Maseres, Scriptores logarithmici. London (1796).
3) S. Sherwins Mathem. tables (1705, 1706 usw.).
4) Mémoires de l'Ac. de Paris (1719), 144.
5) Wie schon Newton bemerkt (Brief vom 24. Okt. 1676 an Oldemburg):
um 20 Stellen zu bekommen, braucht man 5109 Glieder (etwa 1000 Jahre);
1
mit arc sin erhält man 20 Stellen aus 55 bis 60 Gliedern, noch schneller aus
arc sin
2
·
1/2
6) Briefwechsel ed. Gerhardt I 1, 140. Commerc. LXII ed. Biot-Lefort 139.