Kapitel IV. Grenzfälle.
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dann folgt, daß schon
aus, daß auch
<q wird.
u
n+1
un
<q sein muß; und umgekehrt folgt hier-
u
+1
+ u₂
un
n+1
für hinreichend große n schließlich immer
n
Sind die u negative echte Brüche, so divergiert das Produkt
gegen Null, wenn die u nicht gegen Null zunehmen. In diesem Fall
<q<1 wird, und um-
gekehrt. Also kann dies Konvergenzkriterium in beiden Fällen dahin
ausgesprochen werden, daß das Produkt konvergiert, wenn von
folgt aber wieder, daß auch schon
einem bestimmten n ab
Kriterien herzuleiten.
un +1
un
и
n+1
un
<<1 ist. Entsprechend sind schärfere
16. Der Wert des unendlichen Kettenbruches:
b₁
bą
a1
b3
ist der Grenzwert seiner Näherungsbrüche:
Bo
A。
=
B₁
ao Ai
=
do
b₁ B
A
usw. Nun ist:
B-1
B.
n
A
A
n-1
n
also der Wert des Kettenbruches:
==
ao
b₁ by b
ხიხა
An An-1
n
b₁
be
a1
+
Bo
A
+ (B
B₁
Bo
B₂
-
B₁
-
+
+
Ao
A₁
gleich:
b₁
Ե, Ե.
ao
A, 41
ᎪᎪ
b₁ b₂ bs
A Ag
3
worin A₁, A2, A3, usw. durch die Rekursionsformel:
Aa, A-1-b₁ А„ – 2
=
n-2
aus A1, A₁ = a₁ zu bestimmen sind. Auf Grund der Reihen-
entwicklung sind dann die Konvergenzkriterien für Kettenbrüche ab-
zuleiten. Sind z. B. alle b = 1, was stets zu erreichen ist, so ergibt
das geometrische Konvergenzkriterium IIter Art:
An-1
Konvergenz, wenn
≤q<1;
Α
A, +1
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