Kapitel IV. Grenzfälle.
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Z. B. wird:
---
( 1 + 1 ) − 1 ) + ( ; + − 4 ) + ( ¦ + 11 − ¦ ) + · · · > 1+ 1 − 1 > /;~,
während
-
7
-
9
-
3
ist.
1
-
+
+
12
=
0,69... <
6
14. Wird die Konvergenz einer vorgelegten Reihe durch Ver-
gleich mit anderen ermittelt, so werden dadurch zugleich Grenzen für
die Summe der Reihe erhalten, also die Summe der Reihe approxi-
miert. Aber diese Approximierung ist eine sehr rohe, da es zur Fest-
stellung der Konvergenz nur auf Grenzen überhaupt, nicht auf mög-
lichst enge Grenzen ankommt. Kummer ¹) hat gezeigt, wie man für
die Summen langsam konvergierender Reihen beliebig enge Grenzen
finden kann; dieses Verfahren liefert natürlich auch die Konvergenz,
aber mehr als das, da es eine approximative Summation liefert.
a
Eine Reihe (von lauter positiven Gliedern) a₁ + Ag + Az + ...
konvergiert langsam, wenn die Quotienten +1 mit wachsendem n der
Eins beliebig nahe kommen. Sei also die Entwicklung herzustellen):
a
n
an
-
n
1+ + +
3
+
N
n
a
+1
was in vielen Fällen z. B. bei der hypergeometrischen Reihe möglich
ist. Man entwickle die Funktion
4(n) = cn + co +
C1
Ca
+ +
n
aus der Bedingung, daß die Entwicklung:
❤ (n)
a
an
❤
- (n + 1) − 1 =
f(n + 1) - 1
n+1
1
n
mit einer möglichst hohen Potenz von beginnt. Das gibt z. B.
der Reihe nach:
=
=
Dirichlet (Berl Akad. Abh. 1837, p. 48 Werke I, p. 318), daß das bei jeder
nicht-absolut konvergenten Reihe statthat, Riemann (Gött. Abh. 13 (1867),
p. 97
Werke, p. 221), daß eine absolut konvergente Reihe bei jeder Anord-
nung gegen denselben Wert, also unbedingt konvergiert Scheibner (Gratu-
lationsschrift, Leipzig 1860, p. 11).
1) Crelles J. 16 (1837), p. 206.
n
2) Dann findet nach 8. II Konvergenz statt, wenn v, >1 ist; wie für den
unwesentlich spezielleren Fall einer rationalen Funktion 1+ +... schon
Gauss (Werke III, p. 139) gefunden hatte. Dieselbe Reihe mit wechselnden Vor-
zeichen konvergiert noch bedingt im Intervall 0 <, ≤ 1 (Weierstrass, Crelles
J. 51 (1856), p. 29 Werke I, p. 185).
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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