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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
11. Ist a die Reihe
Ist a die Reihe
Za,
n
1
n'
so wird b, die Reihe q".
Σ
n
Reihe Σκη
so wird die Reihe 2) Ist
1
so wird
by
die Reihe
n. I n . ( l l n ) ' '
n
Za die Reihen.
1
Σπ
(In)
usw. so gewinnt man eine Reihe immer schäferer (hyperharmonischer)
Kriterien.")
-
12. Eine Reihe s₁ + (§2−§1) + (§3− §2) + (§4 − §3) + ··· ist beliebig
langsam divergierend, und eine Reihe (r−r₁)+(r₁ −√2) + (r2−r3) + ··
beliebig langsam konvergierend, wenn S₁, S2, S3, ... beliebig langsam
gegen wachsen, und ro, 1, 2,... beliebig langsam gegen Null
abnehmen; die divergente bzw. konvergente Reihe wird also aus ihrer
beliebig angenommenen Summen-, bzw. Restreihe konstruiert.³) In-
folgedessen gibt es zu jedem Kriterium Reihen, die sich ihm entziehen,
d. h. zu jeder divergenten Reihe a gibt es eine schwächer diver-
gente Reihe b, z. B. die mit der Summenreihe VS; zu jeder
konvergenten Reihe eine schwächer konvergente Reihe, z. B.
die mit der Restreihe V
n
13. Reihen mit wechselndem Vorzeichen
S
a1 A2 + A3
-
konvergieren, wenn und nur wenn ihre Glieder gegen Null abnehmen.¹)
Denn es wird:
an
—ɑn+1< (an¯ɑn+1)+(ɑ+2—αn+3)+·
C
n+1
-
2
a
= ɑn—an + 1 + а n + 2¯¯ɑn + 3ª n + 4 + ..
- απ
'n + s ) · · · < ɑ„·
Daraus ergibt sich die Konvergenz der Reihen:
12
=
1
-
+
1
3
-
1
+
1
garetg 1
1
Π
=
+
-
+
7
4'
welche nicht absolut konvergieren. Solche Reihen konvergieren
,,relativ" oder „,bedingt", d. h. von der Reihenfolge der Glieder und
der Addition abhängig 5); es gelten nicht das kommutative und das
assoziative Gesetz der Addition.
1) Cauchy 1. c.
2) Bertrand, Liouv. J. 7 (1842), p. 37; s. auch Paucker, Crelles J. 42
(1851), p. 139; Cauchy, Compt. rend. (Paris 1856) 2, p. 638.
3) Dieses Prinzip zur Bildung summierbarer Reihen wendete schon Leibniz
an: Historia et Origo Calculi differentialis, Werke hrsg. von Gerhardt, Bd. 5,
p. 392.
4) Leibniz, Brief an Joh. Bernouilli, 1. Jan. 1714; Commerc. epist. 2,
p. 329.
5) Die Abhängigkeit der Konvergenz von der Folge der Glieder bei solchen
Reihen bemerkte zuerst Cauchy (Résum. anal., p. 57), daß bei verschiedenen
Anordnungen die Reihe gegen verschiedene Werke konvergieren kann, Léjeune