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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
+
Die Reihe S ist kleiner als:
1
1
1
+
+
+
1
1
+
1
+ + +
d. h. als
1+
2"
<-1
1
1
1
+ +
16"
+
4"-1
+
+
8"
+
+
+
1
+
-1
8"
+
100
+
+ +
+ + +
1
16"
2+
+
2"
+...),
·),
also konvergent für v1.
Sie ist größer als:
1+ + + +
1
2"
d. h. als:
-100
also divergent für v≤1.
Daraus ergeben sich die zwei (harmonischen) Kriterien:
I.¹) n'a, <k, für v>1 Konvergenz,
an −1) ≥ k>1 Konvergenz,
II.²) n ( a +1
n(
n (a
an
An + 1
nak Divergenz;
−1) ≤ k < 1 Divergenz.
9. Diese Reihen ergeben die Divergenz der Reihen 7(1— x),
arc tg hyp x, die Konvergenz von arc sin x, arc sin hyp x bei x = 1.
Bei Anwendung des Kriteriums (8) I. auf die Reihe:
are sin 1 -Σ
sin1-Σ
•
3 5
.
2n -1
2n
•
1
2n+1
-Σ(1-4)(1-4) (1-4) (124)·(2+1)
6
muß man davon Gebrauch machen, daß die Summe:
1 + 1/2
+ + + +
- In
3
n
4
mit wachsendem n stets zwischen endlichen Grenzen bleibt. In der
Tat ist für z 2, 3, 4,
-
1) Cauchy 1. c.
n stets:
1
1 (1 + 1) < 1 < ' ( ! ),
: - !),
2) Raabe, Schlöm. Ztschr. 10 (1832), p. 63; Duhamel, Liouv. J. 4 (1839),
p. 214, 6 (1841), p. 85.