Kapitel IV. Grenzfälle.
269
d. h. (II) nicht erfüllt sein, während (I) wegen
erfüllt ist.
Umgekehrt, seib
|a„¦ = !b„| + 2|b„, so ist
an│<br│
divergent, aber die b abnehmend,
das Divergenzkriterium a≥b Iter Art
erfüllt, das IIter Art nicht, denn es nimmt
an = 1 + 2|b|
bn
mit wachsendem n ab, also ist:
a
a
n+1
b
n+1
n
π
Ein Kriterium IIter Art ist einfacher anwendbar; nur wenn es
versagt, greife man zu dem zugehörigen Iter Art.
7. Die erste Vergleichsreihe ist die geometrische9", kon-
vergent für q<1, sonst divergent. Daraus ergeben sich die zwei
(geometrischen)¹) Kriterien:
I. ja≤q, q<1 Konvergenz,
aq, q≥1 Divergenz;
n
an +1
II.
≤1, g <1 Konvergenz,
an
≥q, q≥1 Divergenz.
an + 1
an
Diese Kriterien ergeben die Konvergenz der Reihen für e, sin hyp x,
cos hyp x, sin x, cos x für jedes reelle x; die Konvergenz der Reihen
für (1x), arc tg x, arc tg hyp x, arc sin x, arc sin hyp x für |x|<1,
x>1; bei x
deren Divergenz für
=
1 versagen sie.
8. Jede Reihe, bei der die Konvergenz bzw. Divergenz bekannt
ist, aber nicht aus den Kriterien (7) erschlossen werden kann, liefert
neue, schärfere Kriterien. Die einfachste ist die Dirichletsche (har-
monische) Reihe 2):
•
S
=
+ + +
3
1
+
Denn:
1
n
In
a
n
a
e
n
n
und ()-(1-4)
konvergieren gegen 1, man kann also kein q<1 den Kriterien (7)
gemäß finden.
1) Cauchy 1. c., p. 133, 134.
2) Cauchy 1. c.