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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
so ist auch:
hΣc≤Σa≤ k Σbn,
Σαπ
wo die Summation mit dem betreffenden n beginnt, also auch a
konvergent.
5. Konvergiert die Reihe der absoluten Beträge a, so kon-
vergiert die Reihe „absolut“ oder „unbedingt“.¹) Für die absolute
Konvergenz braucht man nur eine Vergleichsreihe b. Ist
n
an≤ k b
n
(I)
mit endlich bleibendem k und | konvergent, dann auch a
Oder ist
R
an
bn
≤ hn
bn
-1
n-1
(II)
mit endlich bleibendem h, so ist aucha, konvergent; denn
die zweite Voraussetzung (II) ist auf die erste (I) zurückführbar:
≤hh
an-1 b₂ h
bn-1
n.
hn
an
R-1
an- 2
bn-2
b usw.
Oder ist
b
b₂-1
an
AR-1
an-1
:
:
An-2
bn-1
br
(III)
n-2
mit endlich bleibendem IIII1,2), so ist auch a
n
konvergent; usw.
Umgekehrt sind (I) bzw. (II) bzw. (III) usw., wenn a divergiert,
Divergenzkriterien für b.
=
6. Die Kriterien (III) usw. sind bisher nicht ausgesprochen
worden; (II) nur unter der engeren Annahme h 1. Für diese
gilt: Jedes Kriterium erster Art³) (I) ist besser, als das zugehörige
zweiter Art³) (II). Denn ist konvergent, und wählt man 2>0
so, daß von irgendeinem n ab, stets
ist, so wird
a = b2b2>0
an
an
bn
n
=
1-2 bl
mit wachsendem n wachsen, also:
an+1
n+1
>
b
n
n
1) Cauchy, Analyse algébrique, p. 142; Résumé analytique, p. 39.
2) Das ist die zweite Produktreihe der Größen ₁, l, l,... oder die erste
Produktreihe der Produkle 1, 4 kg, 4, 7, 7g usw.
3) Diese Bezeichnung rührt von P. Du Bois-Reymoud (Crelles J. 76
(1873), p. 61) her.