Kapitel IV. Grenzfälle.
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tg hyp z
2
=
1
2
e-e
1
•
29
e² + e²²
1+
3+
22
5+
7+
tg z
-
22
1
3
Konvergenzkriterien.¹)
1. Eine Reihe von Zahlen s₁, S2, S3, ... besitzt den Grenzwert S∞,
wenn durch Wahl von n der Unterschied |SS kleiner gemacht
werden kann, als eine beliebig kleine Größe.2)
2. Eine Reihe von Zahlen S1, S2, S3,
besitzt einen Grenzwert,
wenn durch Wahl von n der Unterschied Sx+ns, bei jedem k
kleiner gemacht werden kann, als eine beliebig kleine Größe.³)
3. Eine unendliche Summe a₁ + a + a
=
a1, S2 a₁ + α2,
+91 +
konvergiert,
wenn die Summenreihe s₁
S3 = α₁ + α₂ + αz,
einen Grenzwert hat¹); dieser Grenzwert heißt die Summe der Reihe.
4. Konvergenzkriterien ergeben sich durch Vergleich mit Reihen,
deren Konvergenz bekannt ist.") Konvergieren die Reihen
Σ b₁ = b₁ + b₂+
und c-c+ C₂ + · · ·
Σ = C₂+
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und ist stets oder von einem bestimmten n ab:
h c <a ≤ k b
z
В n
An
2n+1'
so beweist Lambert, daß A, tgz - B, mit wachsendem n gegen Null kon-
vergiert.
1) Hier kann nur das Wichtigste zusammengestellt werden. Zur genaueren
Information sei namentlich verwiesen auf Pringsheim, Enc. d. Math. I, p. 87.
2) J. Wallis, Arithmetica infinitorum, Prop. 43 = Opera (Oxford 1695) I, p. 383.
3) G. Cantor, Math. Ann. 21 (1883), p. 124.
4) D. h. also nach 2., daß a,+1+an+ 2 + ·
bei jedem k beliebig klein gemacht werden kann
Lehrsatzes usw. 1817). Gewöhnlich wird das als
kriterium angesehen; richtiger ist es wohl, darin nur die scharfe Fassung des
Begriffes der Konvergenz zu erblicken.
+an+k durch Wahl von n
(s. Bolzano, Beweis des
das wahre" Konvergenz-
"
5) Dies Prinzip wendet erst Gauss (Werke III, p. 142) an.