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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
x
=
1.2
1
arc sin x
√1 - x²
x2
1.3
1.2
1
-
x2
3.5
3.4
1
x²
5.7
3.4
1
7.9
5.6
1
x9
9.11
15
sin x
--
1
1.2
1.
23
sin 2
82
1.2
X
1
sin 2
3.5
2
3.4
х
1
-
sin2
.
5 7
2
3.4
Xx
1
sin 2
7.9
2
5.6
Ꮖ
1
-
sin2
9.11
2
Hieraus ergibt sich in erster Annäherung der Wert:
sin x
x
1
-
2
3
sin2
x 2+ cos x
=
2
3
d. i. die Formel des Nikolaus von Cusa (S. 188), und in zweiter An-
näherung:
Xx
15
12 sin?
sin x
2
x
x
9 + 6 cos x
14+ cos x
15 -2 sin
2
d. i. die Formel von Newton (S. 203).
Setzen wir in die Entwicklung von
-
(1x)" (1-x)"
(1+x)" (1-x)"
(1 + x)”+ (1
dann x
=
iz
n
so erhalten wir für n
=
"
1):
2
erst x=
1) Diese und ähnliche Kettenbrüche haben zuerst Euler (Comm. Acad.
Petrop. IX (1737), p. 98; Introductio 1753; Opusc. analyt. II, p. 217) und
Lagrange (Mém. Acad. de Berlin 1776 236) abgeleitet; Euler beweist auch, wenn
auch nicht mit der heutigen Strenge, daß ein solcher Kettenbruch überhaupt
einen bestimmten Grenzwert besitzt. Daß aber diese Kettenbrüche wirklich gegen
tg hyp z (bzw. g) konvergieren, beweist erst Lambert (Hist. de l'acad. de
2
Berlin, der 1768 gedruckte, mit „année 1761" bezeichnete Band, p. 265-322),
der diese Kettenbrüche unabhängig gefunden hatte. Ist