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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
=
1
Wählt man in (3) noch speziell ẞ = 0, so daß F(α, ß, y, x)
wird, und ersetzt durch (y-1), so erhält man die folgende Ketten-
bruchentwicklung ¹):
F(α, 1, 7, x)
α
-
1 +
x +
α (α + 1)
x² +
(+1)
α (α + 1) (α + 2)
X3
y (y + 1) (y + 2)
+
WO
1
ах
b x
1
-
сх
dx
1
(4)
gesetzt ist.
=
a
-
α
Y
(α + 1)y
(y + 1) (y + 2)
b
=
α
77+1)'
d
-
2(+1-α)
(7+2) (73) '
Aus dieser Formel (4) ergeben sich für einige der oben betrach-
teten Funktionen folgende Kettenbruchentwicklungen:
1
(1 + x)n
=
(1 + x)" — (1 x)n
(1+x)" + (1-x)"
nx
1
n+1
1+
x
n
1
Xx
2.3
2 (n + 2)
1+
3.4
2(n
1
-
X
4.5
2)
x
NX
1+
(n² - 1).
1+
-
(n² — 4) x²
3+
(n² -
9)x2
7+
2)
1) Daß der so gebildete Kettenbruch wirklich konvergiert und mit der
erzeugenden Funktion übereinstimmt, und zwar falls kein positiver reeller
1
x
(1886), p. 322; 67 (1867),
echter Bruch ist, hat zuerst Thomé (Crelles J. 66
p. 299) bewiesen. Die erzeugende Funktion ist durch die Differentialgleichung
zu definieren.
F"+
y — (α + B + 1)
F'-
x (1
-
x)
αβ
x(1 − x)
F
-
= 0
-
2) Dieser Kettenbruch ist aus der Rekursionsformel zu folgern:
R₁_1= (2h + 1) R₂+ (n² — (h +1)*) R% +1,
die für die Funktionen:
gilt.
Rh-1
=
-
Σ(1)
x2k
(2k+1) (2k + 3) (2k + 5)
(2k + 2h
1)
k=0,1,.
(8=1)