Kapitel IV. Grenzfälle.
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in F(a, ẞ, y, x)
99
""
F(a, ẞ+1, +1, x)
F(a+1, ẞ+1, y + 2, x)
und folglich:
den Koeffizienten:
""
""
·
in F(x,ß+1,7+1,x)—F(α‚ß‚ɣ,x)
Nun ist aber
xm-
1
m M
7+ m'
α·
α.
?
M,
· (B+m)
r + m
9
M,
(a + m) (ß + m) (y + 1)
(y + m) (y + m − 1)
m
.M,
•
α. (y — B)
•
M.
r + m
abgesehen vom Faktor (y+1), der Koeffizient
von - in F(a+1, ẞ+1,7 +2, x); also ergibt sich:
F(α,ß+1,y+1, x) — F(α, ß, y, x)
=
α (y-B)
7(+1)
.
x · F(a+1,ẞ+1,ɣ+2,x). (1)
Bezeichnen wir:
F(a, ẞ+1,7+1, c)
F(u, B, 7, x)
mit G(a, ẞ, y, x),
so wird:
F(a+1, 8, 7+1, x)
་
FB, a +1, +1, x)
=
=
F(α, B, 7, x)
F(ẞ, α, y, x)
G (ß, α, y, x),
folglich, wenn wir die
dividieren:
1
G (α, B, 7, x)
1
-
oder:
G (α, B, y, x)
Ebenso:
Gleichung (1) durch F(α, ẞ+1, y + 1, x)
=
1
α
a (y) x ⋅ G (B+1, α, y + 1, x),
r(+1)
wwwxxx
•
α (y-B)
(+1)
1
x GB+1, α, y + 1, x)
.
(2)
G(B+1, a, 7+1, x)
usw.
-
1 -
--
α)
(+1)(y +1.
(+1)(+2)
1
.
x· G(α +1, ẞ+ 1, 7 + 2, x)
Hieraus ergibt sich die folgende Darstellung durch einen Ketten-
bruch:
F(a, B+1, +1, x)
2
1
F(α, B, 7, x)
ах
1
bx
(3)
cr
dx
1.
WO
a
gesetzt ist.
=
-
α (y — B)
(+1)'
---
(α + 1) (+1 — ẞ)
(7+2) (y+3)
(+1)+1 α)
(+1)(+2)
b
d
-
(8 + 2) (7+2 α)
(7+3) (7+4)