Kapitel IV. Grenzfälle.
259
sin x
= x
00
II (1 ·
k = 1, 2,...
-
x²
(kn)₂)
(π)
1)
(9)
Analog erhält man aus der vierten oder sechsten Formel auf S. 252:
COS X =
Insbesondere aus (9) für x
2
π
II
k
=
00
II (1
42. 1
4/2
π
2
=
x2
2
(~~)
die Formel:
1 3 3
•
2 2
Entsprechende Formeln bekommt man,
stellungen durch Partialbrüche zur Grenze n
geht.
5
.
5
6
2)
(10).
wenn man in den Dar-
∞, bzw. n = 0 über-
=
Ersetzt man in der Formel (1) S. 252 x durch
х
n
n X
cos"
n
(— 1)* cos".
n-2
π
XC
n tg
sin x
x
+ 2 Σ
n
n
x
μπ
n tg
n't g
2
n² tg²
n
n
so erhält man für n =
∞:
oder:
sin x
1
sin x
Analog ergibt sich:
1
=
****
COS X
1
x
1
x
=
+ 2 Σ
+
k = 1, 2,...
+ ∞
Σ
k
Ꮖ
x².
k = 1, 2,...
∞
k = 1,3,5,...
1
(− 1)* x — ka
k+1
2
(-1)
μπ
x-
2
(kn\ 2,
Επ
(11)
oder:
1
COS X
Σ
k = 1,3,...
k+1
2
1)
μπ
X
2
(12)
1) Euler, Comm. Acad. Petr. VII (1734/35), p. 123, Introductio, p. 131.
2) J. Wallis, Arithmetica infinitorum 1659. Opera I. 467, II. 356; s. auch
Vandermonde, Hist. de l'ac. de Paris 1772, I (Paris 1775), p. 489. Vgl. hierzu
und über den Brounkerschen Kettenbruch Plana, Crelles J. 17 (1837), p. 17.
17*