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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Aus der Formel (9) S. 249:
sin nx
n sin x
=
1
-
ergibt sich für n =
n² - 12
3!
sin² x +
(n − 1 (n − 3
sin¹ x
5!
0¹):
1 sin³x
1.3 sin x
X = sin x +
2 3
+
2 .4
1
3.5 sin x
+
2
6 7
oder:
1 x3
1.3 x
5
1.3.5 x7
+
+
+
2 3
2.4
5
•
2.4 6 7
2)
arc sin x x +
Setzt man in der Formel (4):
sin für x und
so erhält man:
x
sin2
=
ε,
(5)
x
sin c
=
1 +
ε +
2
·
4
3 5
2
ε² +
2 4
•
.
3 5 7
und, indem man den reziproken Wert nimmt:
2
sin x
- 1 - 6 - 1 ( • ) ' —
2 2
1
x
5
-
2 3
&
8
23 2
175 3
+
· G · ) − 1 ( + )*
3
--
Indem man auch links den halben Winkel
setzt, wird aus Formel (6):
4
(6)
(7)
x
einführt und tg = t
t
arc tg t
=
1 +
2 t2
3 1+ 2
24
t2
2
+
+
Analoge Grenzübergänge sind
(S. 251, 252) auszuführen:
35 1+
(8)
für die Produktdarstellungen
Aus
sin n x
n sin x
=
II (1
sin x
folgt, wenn man die Substitution x ||
nübergeht:
n
sink a
n
einführt und dann zur Grenze
1) Die Formel (9) ist zwar nur für ungerade n hergeleitet, so daß n = 0
zunächst kein zulässiger Wert ist. Aber alle diese Formeln gelten, wie z. B.
für (1) und (2) S. 243 bewiesen wurde, überhaupt für beliebige (reelle) n.
2) Die Reihe konvergiert für |x| ≤ 1 (s. u.) und stellt den zwischen
und +
π
2
20
-
2
gelegenen Hauptwert von arc sin x dar. Vgl. Cauchy 1. c., p. 549.
3) Ch. Hutton, Phil. Trans. (1776), p. 476; Euler, Nova acta XI (1793)
133 ff., Opera posthuma ed. P. H. Fuß und N. Fuß I, p. 288; Euler hat mit
dieser Reihe auf 20 Stellen in kurzer Zeit berechnet. Dieselbe Reihe fand
auf anderem Wege wie Euler J. Thomson, Edinb. Phil. Trans. V (1840), p. 217;
ferner fand sie von neuem De Morgan, Cambr. Trans. XI (1866), p. 232. Vgl.
J. W. L. Glaisher, Messenger II (1873), p. 119.