Kapitel IV. Grenzfälle.
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x3
x5
sin x = x
+
1)
3!
5!
(2)
Desgleichen ergibt sich aus:
sin nx
n cos" x
tg x
--
für n =
= 0:
x = tg x
oder:
arctg x = x
+
5
-
1) (n 2)
tg³ x +
3!
-
tg³ x
+
tg5 x
5
(3)
für │x<1, da die Reihe unter dieser Bedingung konvergiert.¹)
Um festzustellen, welcher der Werte von
arc tg x durch diese
Reihe dargestellt wird, beachten wir, daß die Reihe:
x2
1-(1-2)-(1-7) -
3
3x2
5
9
kleiner ist als ihr erstes Glied 1, da alle folgenden subtrahiert werden,
ebenso ergibt sich aus der Anordnung:
5x
(12) + (1 - 5 + ) + ...
-
3
5
daß sie größer ist als ihr erstes Glied (1), da alle folgenden
Glieder addiert werden. Infolgedessen liegt der Wert der Reihe
zwischen den Grenzen +1 und 1, repräsentiert
X3 x5
X
+
3
5
+
4
π
π
also den zwischen und gelegenen Wert von arc tg x, den
Hauptwert.
4
Ferner folgt aus (8) S. 248:
sin nx
n sin x cos x
22
-
sin² x +
3!
für n
=
0:
x
COS X
=
22
sin x +
3!
sin³ x +
22.42
5!
sin5x+
-
29.42.62
71
sinx +
=
sin x +
2 sin x 2.4
+
.
sin x
+
2.4.6
sin' x
+
1
1 .3
5
1. 3 5
.
oder:
arc sin x
x +
2 x3
+
2.4 x5
+
2.4.6 x
+
√1 - x²
1 3
1.3 5
1.3.5
(4)
7
1) J. Gregory, Commerc. epist. Nr. XIX, XX. Den besonderen Fall
Π
x=1, arctg x =
1
-
4
1
1
+
hatte Leibniz gefunden, wie er am 26. Oktober 1674 an Oldemburg schreibt;
Acta Erudit. Lips. 1682. Schriften hrsg. v. C. J. Gerhardt, 1. Abt. B. I,
1849-55, Bd. II, 16.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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