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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
kann auch als Teilungsgleichung aufgefaßt werden, indem aus diesen
Gleichungen cos als Funktion von cos x zu bestimmen ist.
x
n
Umgekehrt ist die Formel:
1
COS
x
n
n
N
COS x 1
tg² x +
tg¹ x
-
für cos x sin x die Auflösung dieser Gleichung, da ja die Gültig-
keit dieser Multiplikationsformel auch für gebrochene Multiplikatoren
bewiesen worden war (S. 245).
Kapitel IV.
Grenzfälle.
Wir wollen aus den bisher gewonnenen Formeln, indem wir n
gegen O abnehmen oder gegen wachsen lassen, neue Formeln
herleiten.
Der Grenzübergang darf vollzogen werden, indem man die Summen
bzw. Produkte der Grenzwerte der einzelnen Summanden bzw. Faktoren
bildet.¹) Über die Konvergenz der entstehenden Entwicklungen wird
weiter unten das Erforderliche zusammengestellt.
Aus:
COS X
x
COS"
n
n
-1-() tg²+() tg...
folgt für n = ∞ wegen lim n tg
N=∞
x
n
n
-
x:
COS X 1
--
x
+
2!
x4
4!
.3)
Dieselbe Reihe ergibt sich für n
=
und wegen lim n sin
aus den Formeln (8) und (9) auf S. 248, 249.
Ebenso folgt aus:
sin x
Ꮖ
COS"
n
x
n
x
N=∞
- n tg (") tg²+(") tg³...
n
(1)
X
x
n
für n =
1) S. z. B. O. Stolz und J. A. Gmeiner, Einleitung in die Funktionen-
theorie, Leipzig 1902, 1904.
2) Gregory, Commerc. epist. Nr. XVIII.