Kapitel III. Goniometrie.
251
x
Setzt man in (8) 2n für n und für x und zur Abkürzung:
2
x
2 sin2
=ε
und 1
-
cos nx
=
2
n² ε
2
&
2ε +
ε+
sin vers nx,
n*(n −1 (n −2)
so erhält man:
sin vers nx
sin nx
n sin x
=
=
1
--
no
-
n² (n² — 1²)
3!
2!1.3
12
II. Produkte.
3!1.3.5
(n_1(n− 2
5!
-
(11)
(2ε) — ..
Wir fanden für
sin nx
cos nx
und
ganze Funktionen von
bekannt sind, ergibt sich
Setzen wir tgxt,
sin nx
cos" x
n
cos" x
n
Co8" x
tg x. Da die Nullstellen dieser Funktionen
sofort die Zerlegung in ein Produkt.
so ist nach S. 241:
=
—
n
nt − ( 33 ) t³ + ( 3 )
Die linke Seite wird 0 für x
Απ
Επ
=
oder die rechte Seite für t = tg'
"
n
n
wo k eine ganze Zahl bedeutet. Also ist:
sin nx
cos" x
n
= n tg x 1
=
n tg x
n
2
tg² x
tg:
II(1-
k = 1
[""] die größte ganze in
WO
Ebenso folgt:
cos n x
cos" x
[:]
П
k = 1
tg² x
π
π
tg
n
(1)
n
tg² x
tg2
-
Επ
n
n- 1
2
enthaltene Zahl bedeutet.
tg² x
2
tg
(2k -- 1)π
2n
(2)
Analoge Produktdarstellungen ¹) ergeben sich aus den Multipli-
kationsformeln (8) und (9) auf S. 248, 249:
1. für gerades n:
n
1
sin n x
n sin x cos x
=
2
-П II (1
k = 1
-
sin² x
Επ
sin 2
n
1) Euler, Introductio, p. 220; Cauchy, Analyse algébrique, p. 556.
(3)