Kapitel III. Goniometrie.
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2. und für ungerades n bestehen die Formeln:
COS X
cos nx
n_1
-
1
sin x +
(n−1)(n°_3
2!
4!
no - 1º
=
1
sin2x+
3!
sin nx
n sin x
sin¹x
(n² — 1²) (n² — 3²) sin¹ x
5!
(9)
Der Beweis für diese Formeln wird durch den Schluß von n
auf (n+1) geführt. Dazu führen wir zur Abkürzung folgende
Schreibweise ein:
1. wenn n gerade ist, so sei:
n
{*} = 1
1,
}
n(n −2)
3!
9
=
{2}
2
n
2!
=
n² (n
4!
22)
2. wenn n ungerade ist:
0-1 0- Q-""
= 1,
{";}} =
n(n-1)
3!
"
2!
Zunächst beweist man für diese Koeffizienten leicht die folgende
Formel:
n
Q+6=√ = (+)),
}
(10)
wenn h mit n zugleich gerade oder ungerade ist, und wenn dies
nicht der Fall ist, so gilt die Relation:
n
n
n
h 2
Q}+6=J+6=3=("#")-
h 1
(10a)
Mit diesen Abkürzungen lauten dann die Formeln (8) und (9):
1. für gerades n:
Cos nx =
sin nx
COS X
=
1 — {"} sin² x +
sin x
-
2. für ungerades n:
cos n x
COS X
sinnx
=
n
sin x
n
- {3} sin³ x + ...
1 - {2} sin³ x + {} sin¹ x
{}sin
X
{3} } sin³ x + ···
(8a)
(9a)
1) Newton, Brief an Leibniz 13. Juni 1676, Com. epist. ed. Biot-Lefort,
p. 106
Opuscula (1744), p. 315; Beweis bei De Moivre, Phil. trans. 240
(1698), p. 190.
=