Kapitel III. Goniometrie.
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Aber für kleine Werte von x wird:
Cm = 1,
n
Sm 0,
n
folglich muß für kleine Werte von x, also wegen der Stetigkeit all-
gemein:
m
Ст
= Cos
-
-x,
n
n
m
Si
n
=
sin
X
n
1 und Sq
konträren
sein. Für q
O ist Ca
0, also folgt aus (3), wenn Sp
und Cp
desselben Zeichens sind, daß mit wachsendem pc, abnimmt,
also wegen (7) s, wächst; und aus (4), wenn s und
Cp
Zeichens sind, daß mit wachsendem ps, abnimmt, also c, wächst.
Es seien jetzt p'>p, p"<p alle rationalen Zahlen eines Intervalles,
in welchem sc, sein Zeichen nicht wechselt. Durch die Forderung,
zwischen den Zahlen c,- cosp'x einerseits und den Zahlen c- cos p'x
andererseits zu liegen, wird sowohl c, als cos px eindeutig definiert,
da es sich um eine dichte Menge handelt; demnach ist c
und ebensos, sin px.
-
"
Cp
=
=
cos px
Die beiden für beliebige reelle p und sin x cos x bewiesenen
Gleichungen:
cos px = (1 − (2) tg³ x + · · ·) cos² x,
-
sin px = ((2) tg x —
(1) tg³ x + ·· ..)
-) cos x
ergeben jetzt:
cos pxisin px
χ
cos² x ( 1 + i (?) tg x
(2) tg³ x…..}
=cos*x+i() cosp−12 sin —
-1
p
x
---
cos-2x sin² x ·
d. h. für (cos + i sin x) gilt der binomische Satz, wenn
sin x cos x
und p eine beliebige reelle Zahl ist. Demnach gilt der Satz auch
für (a+b), wenn b<a und p eine beliebige reelle Zahl ist.
Die interszendenten Operationen mit komplexen Zahlen.
Der Ausdruck:
=
23
lim (1 + i )” — 1 — — + ··· + ( 2 - 131 +)
-
i
3!
= cos z + i sin z
n=∞