244
Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Jetzt ergeben sich mit Rücksicht auf S. 225 (4) die Formeln:
CpCqSpSqCp+q
SpCq + S₂ Cp = Sp+2"
SqCp
CpCq + Sp$q = Cp-47
-
Cps S
SpCa
speziell noch für q = p:
2
sp² + c p
2
=
P-
(3)
(4)
(5)
(6)
p—q'
(7)
1.
Aus (3) und (4) folgt für q = — p:
--
-
Cpc-p S.S 1,
p-p
Cps_p + c S 0
-p
-p p
und daraus, indem man einmal c,, das andere Mal Sp
C₂ (c² p + s²p) = C _ p >
eliminiert:
S
p
( c² _ p + s ²,
s² _p)
-
-
S
P
also:
Cp
C-p, Sp
S
-p'
Ist also für p bewiesen:
Cp
= cos px, Sp
==
sin px,
so folgt, daß auch:
с =
-p
cos (px),
S
-
sin (-- px)
P
ist, also die Gültigkeit der Formeln für negatives p. Demnach können
wir weiterhin p positiv annehmen.
Nun folgen aus (3), (4) die Formeln:
Cmp = c(") cn-282- +
S
np
np
(2)
cn-1
P
P
-
(3)
сп
-3
s3 +
p
wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet. Die Richtigkeit dieser
Formeln folgt durch den Schluß von n
auf n + 1 vermittels:
C(n+1)p
S(n+1)p
Cnp Cp
пр
Snp Spr
Snp Cp
C₂ + Cnp Sp.
Daraus folgt für npm, wenn auch m eine positive ganze Zahl ist:
(Cp+isp)" = cm +
-
is, (cos x + i sin x)”.
Also ist cis, einer der Werte von
m
also:
Cm
-
COS
n
(cos + sin x)",
"
mx + 2 kл
n
Sm
sin
mx + 2kπ
n
n