Kapitel III. Goniometrie.
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Kapitel III.
Goniometrie.
Definitionen. Relationen. Additionstheorem.
Wir definieren die goniometrischen Funktionen durch die Seiten-
verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck:
(1)
a
с
sin α =
cosec α
с
a
с
b
sec α =
COS α =
b
с
b
ctg a
"
tg a
a
=
b
a
Dann ist in diesem System das Produkt der Elemente jeder Zeile
oder Kolonne identisch gleich Eins, also:
sin a cosec α
=
1
sec a cos α 1
-
tg a ctg a
1
sin a sec a ctg a
cosec a cos a tg a
-
=
1
1.
Demnach ist jede Funktion rational durch sin und cos ausdrückbar.
Ferner folgt aus a² + b²- c²=0 durch Division mit bzw. a², b², c²:
ctg² α = 1
cosec² α
sec² α
tg² a
=
sin² a + cos² α
-
1
1.
Demnach ist das Quadrat jeder Funktion durch das Quadrat jeder
anderen rational ausdrückbar, und zwar sind:
sin², cos, - tg², - ctg², sec², cosec²
die 6 Werte eines Doppelverhältnisses (S. 2).
Der Ptolemäische Satz: „Produkt der Diagonalen eines Kreis-
vierecks gleich der Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten",
angewandt auf zwei rechtwinklige Dreiecke mit Hypothenusen gleich
Eins, liefert, indem man die Dreiecke auf vier verschiedene Arten
mit ihren Hypothenusen zur Deckung bringt, die vier Formeln des
„Additionstheorems“:
1) Almagest ed. Heiberg, p. 36.