Kapitel II. Grenzfälle algebraischer Formeln.
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=
=
>1)
sendem auch er wächst (denn er + er es und e 1 + § + · · · > 1)
und dadurch wird der natürliche Logarithmus x der Zahl y definiert.
Also ist
λ(y) log naty (kürzer mit ln y bezeichnet),
=
d. h. die Funktion stimmt für diejenigen Argumente, für die sie
definiert ist, mit der Funktion log nat überein, und es ist also¹)
log nat (1x)=
= X
-
x² x3 x+
+
-
+
wenn x < 1.2)
Wir folgern noch:
-
log nat (1-x) = x + + +
+
und durch Addition
log nat
+ x
x3
x
=
x +
+
3
+
Da man links für x
=
Ꮖ
tg hypa erhältlog nat e²«
log nat e²α = a, so kann
man auch schreiben arctg hyp x = x +
3
5
xs x5
+ +····
Anwendung auf die Wurzelpotenzsummen.
Xn
die Wurzeln von
Sind X1, X2, X3,
x” — P₁ x² - ¹ + P₂ x² − 2
-...
O und Sp
+
x,
so wird für eine Variable t, für die p₁t+p₂ t² + · · · <1, 'x₁t <1,
xt1, usw. ist, identisch:
1 + P₁t + P₂ť² + · · · = (1 + x,t)(1 + x₂t) · · · (1 + xnt)
-
+
2
3313
3
+..
Eln (1+x, t)
(Xpt)², (x, t)³
Σ*,
+
-
2
3
also:
S₁t - S₂
+ Sg
ts
3
-
In (1+P₁t + P₂t² + · · ·)
•
•
-
= (P₁t + P₂ť² + P₂st³ + ··
...) -
-
2
( P₁ t + P₂ t² + P¸ t³ + · · ·) ²
+
1) Durch Integralbetrachtungen bewiesen von Nicolaus Mercator, Log-
arithmotechnia (London 1668), abgedruckt bei Maseres, Scriptores logarithmici;
elementar abgeleitet von Edmond Halley, Phil. Trans. 1695, p. 60; ebenso
von Euler, Introd., p. 88, strenger von Cauchy, Anal. alg., p. 167.
2) Man kann die Formel
1
lg nat (1+x) lim
(1+x)' 1
n
n
auch für große, aber endliche n als Näherungsformel zur Berechnung der Log-
arithmen benutzen, wie dies F. Maseres tut: Phil. Trans., 68 (Lond. 1778), p. 895.