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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
oder ¹):
+
[ i ] x } -
{ //
3
s² +
sp +
1
4
+ { ³°³ +
$3
1
[ +
]
s²p
1 5
s ² p + [ ] p² + [:] ²)
6
5
+
s +
h+1
- 1
P+
[h+2-
h+2 2
-2
² ] s¹ - 2 p² +
•
} F
=
= (s+p) -
(s+p)
(8 + p)³
-
+
3
Daraus folgt durch Vergleichung der Koeffizienten von s+*p*
1
1
· [' + '] = { (})}) ›
h + k k
und das ist richtig, denn aus
(h + k) (h − 1) (h — 2) · · · (h — k + 1)
folgt
1
k
["+"] =
k!
(h - 1) (h — 2)
...
· (h − k + 1)
-
=
k!
½ (^) ;
[h+k
h + k k
1
hk
die oben eingeführte Funktion besitzt also in der Tat die Funda-
mentaleigenschaft, daß
ist.
λ(1 + x) + λ(1 + y) = 2 (1 + x + y + xy)
Daraus folgt für jede positive ganze Zahl n
nλ(1 + x) = 2((1 + x)”)
oder wenn für x gesetzt wird
x
n
Geht man
λ ((1+)") ·
(1 + 2)") = n² (1 + 2 ) .
zur Grenze n
n
über, so ergibt sich, wegen
lim (1 + *)* ·
=
e und lim nλ(1+2) = lim (x
-
daß
X?
x²
+
2n 3n2
...)
=
x,
λ(ex) = x
ist. Durch die Gleichung ey wird jedem reellen Werte von x
ein reeller positiver Wert von y eindeutig zugeordnet, da mit wach-
1) Diese Umordnung der Glieder ist zulässig, wenn auch die Summe ihrer
absoluten Werte konvergiert, wenn also Σ für jede Wurzel von
p
X
h
x= 18+ konvergiert, d. h. wenn sp<1 ist. Nach Erkenntnis der
Funktion wird diese Einschränkung bedeutungslos.