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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
Ist jetzt A der Scheitel (= 1, y = 0), B der Punkt (x, y), mit
x>y > 0, so liefert die Ordinate von B das Doppelverhältnis:
e²α,
x
O(IJAB)
X- y
x + y
=
:
-
=
x
andererseits ist
-X- y Xx y
=
(x + y) (x − y) — 1,
also folgt
x + y
=
ea
x − y = e−",
da xy und xy beide positiv sind. Also ist für diesen Zweig
der Hyperbel:
+e
=
= cos hyp α,
α
y
=
sin hyp α,
Und für die Hyperbel
wenn a der Sektor AOB ist. Und für die Hyperbel
1
2
haben wir ebenso
x = a cos hyp a
=
y b sin hyp α,
a² b2
y2
- 1
=
ab
wenn a der Sektor AOB ist.
2
Aus eee+ folgen noch für cos hyp und sin hyp die Formeln
des Additionstheorems:
cos hyp (a+B) = cos hyp a cos hyp ẞ+ sin hyp a sin hyp ẞ
sin hyp (a+B)
sin hyp a cos hyp ẞ+ cos hyp a sin hyp ß;
und wenn man
sin hyp a
cos hyp a
tg hyp a
setzt:
tg hyp (a + B)
―
tg hyp atg hyp ẞ
1tg hyp a tg hyp B
Diese Additionstheoreme gehen aus den oben (S. 230) für Potenz-
summen angegebenen hervor, wenn man
a" = eª, a'" = e−", b" = e³, b'" = e− P
setzt.