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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
a"a"
v n + b² n
a"a"" b" — b'n
+
(ab)" + (a'b')"
=
2
2
2
2
a" - a'" b" + b'n
n
a" + a b"- b'n
+
(ab)" - (a'b')"
2
2
2
2
Auf die analogen Formeln für die drei- oder mehrgliedrigen Potenz-
summen, wie
a” + a”+ a
a”+εa” +ε² a″
εξ απ
a" + ε² a'" + ε a'
3
3
3
kann hier nur im Vorbeigehen hingewiesen werden.
Kapitel II.
Grenzfälle algebraischer Formeln.
Exponentialreihe.
Es wird
1
n=∞
lim (1 + ")" = lim ( 1 + x +
N=∞
2
x
2!
х
-
1.2
1
n
1+ + + ;
1!
-
n
n
(1 − 1 ) (1 – 24 )
+
23+
1.2.3
(1)
das werde mit e, bezeichnet; diese Reihe heißt die Exponentialreihe.
Sie konvergiert für jeden Wert von x. Denn ist n eine ganze
Zahl größer als |x, so ist die Summe der absolut genommenen
Glieder vom nten ab
x
(n
d. h.
n-1
1)!
2
(1 +
n-1
2
x
x
x
x
x
+
+
n
n(n + 1)
1 + +
(n
- 1)!
+
n
Dann ist
X
<
(n
-
n-1
1)!
Ꮖ
n
exe
=
x
1 + ( ~; + 1 ) + ( ~ :
+(91 +
+
x² y x y²
+
3! 2!1!
1! 2!
1!1!
2
x y
+
y
+
33) +
=
ex + y
(2)
1) Der Rest dieser Reihe vom ten Gliede ab wird für jedes n > N durch
Wahl eines und desselben k kleiner als eine gegebene beliebig kleine Größe,
und die Summe der ersten k-1 Glieder unterscheidet sich bei hinreichend
großem n von derselben für n= beliebig wenig. Dadurch wird die Ver-
tauschung der beiden Grenzübergänge gerechtfertigt, die Euler (Misc. Berol. 7